Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için g(x) = \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx\neşitliği verilmiştir. f(1) = 4, f(2) = 12 ve g(1) = 6 olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?

Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için g(x) = \i… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

g(x) = \int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx

eşitliği verilmiştir.

f(1) = 4

f(2) = 12

g(1) = 6

olduğuna göre,

g(2)

değeri kaçtır?

Doğru cevap olan 5 değeri, integralin tanımından elde edilen

g(x) = \frac{f(x)}{x^2} + C

fonksiyonunda başlangıç koşulları kullanılarak

C = 2

bulunması ve ardından

x = 2

yazılmasıyla elde edilir.

İntegral içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu belirlemek için bölüm kuralını hatırlayalım.

\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x^2}\right) = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3}

eşitliği elde edilir.

Verilen integralin integral alma kuralı gereğince sadeleştirilebilmesi için integrandin bir bölümün türevi olduğunu fark etmemiz gerekir.

Belirsiz integralin tanımını kullanarak integrali hesaplayalım.

g(x) = \frac{f(x)}{x^2} + C

(burada

C

integral sabitidir) olarak bulunur.

Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, o ifadenin kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.

Verilen sınır/ba��langıç değerlerini kullanarak

C

integral sabitini bulalım.

g(1) = \frac{f(1)}{1^2} + C \implies 6 = 4 + C \implies C = 2

elde edilir.

Fonksiyonun tek bir belirsiz integral eğrisini belirlemek için başlangıç koşulunu kullanmamız gerekir.

Bulduğumuz

g(x)

fonksiyonunda

x = 2

yazarak istenen değeri hesaplayalım.

g(2) = \frac{f(2)}{2^2} + 2 = \frac{12}{4} + 2 = 3 + 2 = 5

bulunur.

Soruda bizden istenen

g(2)

değerine ulaşmak için elde ettiğimiz genel kuralda değişken yerine 2 yazarız.

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve integral sabitinin (C) bulunması

Estimated Time:2m 0s