Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
x=cos⁡(17π5)x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)
y=sin⁡(−23π10)y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)
z=tan⁡(32π5)z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)
w=cot⁡(−13π5)w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)

Yukarıda tanımlanan xx, yy, zz ve ww değerlerini artan sırada olacak şekilde sıralayınız.

  1. 1y=sin⁡(−23π10)y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)
  2. 2x=cos⁡(17π5)x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)
  3. 3w=cot⁡(−13π5)w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)
  4. 4z=tan⁡(32π5)z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)

Answer

Trigonometrik ifadeler indirgendiğinde oluşan sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri uygulandığında y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) negatif; w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) pozitif olmaktadır. Negatif değerler kendi aralarında kıyaslandığında mutlak değerce büyük olan yy en küçük olup y<xy < x elde edilir. Pozitif değerlerde ise tan⁡(72∘)>1\tan(72^\circ) > 1 iken tan⁡(18∘)<1\tan(18^\circ) < 1 olduğundan w<zw < z olur. Bu durumda artan sırada dizilim y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
xx ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ)
17π5\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsü 17π5−2π=7π5\frac{17\pi}{5} - 2\pi = \frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olur. Bu açı 3. bölgede yer alır. 3. bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle: cos⁡(180∘+72∘)=−cos⁡(72∘)=−sin⁡(18∘)\cos(180^\circ + 72^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\sin(18^\circ) elde edilir.
2
yy ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme
y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ)
−23π10-\frac{23\pi}{10} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 17π10\frac{17\pi}{10} (306∘306^\circ) olarak bulunur. 4. bölgede yer alan bu açının sinüsü negatiftir. İndirgeme formülüyle: sin⁡(360∘−54∘)=−sin⁡(54∘)\sin(360^\circ - 54^\circ) = -\sin(54^\circ) elde edilir.
3
zz ifadesinin esas ölçüsünü bulup değer aralığını belirleme
z=tan⁡(72∘)>1z = \tan(72^\circ) > 1
32π5\frac{32\pi}{5} açısının esas ölçüsü 32π5−6π=2π5\frac{32\pi}{5} - 6\pi = \frac{2\pi}{5} (72∘72^\circ) olur. 1. bölgede tanjant pozitiftir. 72∘>45∘72^\circ > 45^\circ olduğundan tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
ww ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme ve değer aralığını belirleme
w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) (0<w<10 < w < 1)
−13π5-\frac{13\pi}{5} açısının üzerine 4π4\pi eklenerek esas ölçüsü 7π5\frac{7\pi}{5} (252∘252^\circ) olarak bulunur. 3. bölgede kotanjant pozitiftir. İndirgeme formülüyle: cot⁡(180∘+72∘)=cot⁡(72∘)=tan⁡(18∘)\cot(180^\circ + 72^\circ) = \cot(72^\circ) = \tan(18^\circ) elde edilir. 0∘<18∘<45∘0^\circ < 18^\circ < 45^\circ olduğundan 0<tan⁡(18∘)<10 < \tan(18^\circ) < 1 olur.
5
Elde edilen değerleri karşılaştırarak nihai sıralamayı oluşturma
y<x<w<zy < x < w < z
Negatif sayılardan y=−sin⁡(54∘)y = -\sin(54^\circ) ve x=−sin⁡(18∘)x = -\sin(18^\circ) kıyaslandığında; sin⁡(54∘)>sin⁡(18∘)\sin(54^\circ) > \sin(18^\circ) olduğundan −sin⁡(54∘)<−sin⁡(18∘)-\sin(54^\circ) < -\sin(18^\circ), yani y<xy < x bulunur. Pozitif sayılardan w=tan⁡(18∘)w = \tan(18^\circ) ve z=tan⁡(72∘)z = \tan(72^\circ) kıyaslandığında; w<1<zw < 1 < z olduğu için w<zw < z olur. Negatif sayılar pozitif sayılardan küçük olduğundan genel sıralama y<x<w<zy < x < w < z şeklindedir.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic