Examkin

Question

Difficulty: Very hardBelirli İntegral ve Özellikleri
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x+3)=f(x)+2f(x + 3) = f(x) + 2
eşitliği sağlanmaktadır.
∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5
olduğuna göre,
∫17f(2x−1) dx\int_{1}^{7} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    20
  3. C
    24
  4. 32Answer
  5. E
    64

Answer

Aranan belirli integralin değeri 32 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 32 değeri, 2x−1=u2x-1 = u değişken değiştirmesiyle integralin sınırlarının 1 ve 13 olarak güncellenmesi, ardından aralığın f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 kuralı uyarınca boyu 3 olan alt aralıklara bölünerek [1,4][1, 4] aralığına indirgenmesi ve nihayetinde ∫14f(x) dx=∫03f(x) dx+2=7\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + 2 = 7 eşitliğinin kullanılmasıyla elde edilen sonucun 12\frac{1}{2} ile çarpılmasıyla bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İntegralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi uygulanır.
2x−1=u2x - 1 = u dönüşümü yapıldığında 2 dx=du  ⟹  dx=12 du2 \, dx = du \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
��ntegrali temel f(u)f(u) fonksiyonunun integral kuralları cinsinden ifade edebilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1 ve üst sınır için x=7  ⟹  u=2(7)−1=13x = 7 \implies u = 2(7) - 1 = 13 bulunur. Böylece integral 12∫113f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{13} f(u) \, du hâline gelir.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da o değişkene göre ayarlanması gerektiği için.
3
İntegral aralığı, fonksiyonun her 3 birimde bir kendini tekrarlayan yapısı göz önüne alınarak boyu 3 olan alt aralıklara bölünür.
∫113f(u) du=∫14f(u) du+∫47f(u) du+∫710f(u) du+∫1013f(u) du\int_{1}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(u) \, du + \int_{4}^{7} f(u) \, du + \int_{7}^{10} f(u) \, du + \int_{10}^{13} f(u) \, du yazılır.
Fonksiyonun f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 dikey öteleme özelliğini uygulayarak tüm aralıkları [1,4][1, 4] aralığına indirgemek için.
4
Her bir alt aralıktaki integral, f(t+3k)=f(t)+2kf(t+3k) = f(t) + 2k özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral cinsinden yazılır.
∫47f(u) du=∫14f(t) dt+6\int_{4}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 6,
∫710f(u) du=∫14f(t) dt+12\int_{7}^{10} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 12,
∫1013f(u) du=∫14f(t) dt+18\int_{10}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 18 elde edilir. Bu terimler toplandığında 4∫14f(u) du+364 \int_{1}^{4} f(u) \, du + 36 toplamına ulaşılır.
Her 3 birimlik kaydırmada fonksiyonun değerinin dikeyde 2 birim artması sebebiyle integral değerinin de 2×3=62 \times 3 = 6 birim artmasından dolayı.
5
∫14f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du değeri, verilen ∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5 değeri yardımıyla hesaplanır.
∫14f(u) du=∫13f(u) du+∫34f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{3} f(u) \, du + \int_{3}^{4} f(u) \, du şeklinde yazılır. İkinci kısımda t=u−3t = u-3 dönüşümüyle ∫34f(u) du=∫01(f(t)+2) dt=∫01f(t) dt+2\int_{3}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{1} (f(t)+2) \, dt = \int_{0}^{1} f(t) \, dt + 2 bulunur. Dolayısıyla, ∫14f(u) du=∫03f(t) dt+2=5+2=7\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{3} f(t) \, dt + 2 = 5 + 2 = 7 elde edilir.
Kaydırma özelliğini parçalı integraller üzerinde uygulayarak bilinmeyen bölgeyi bilinen [0,3][0,3] aralığına tamamlamak için.
6
Hesaplanan tüm değerler yerine yazılarak nihai integral sonucu bulunur.
∫113f(u) du=4(7)+36=64\int_{1}^{13} f(u) \, du = 4(7) + 36 = 64 olur. Yarısı alındığında aranan integral değeri 642=32\frac{64}{2} = 32 olarak bulunur.
1. adımda elde edilen 12\frac{1}{2} çarpanı ile toplam alan değerini çarparak nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık kaydırma/öteleme özellikleri
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic