Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değerleri ile ilgili olarak,
∫13f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
bilgileri verilmektedir.
Buna göre,
∫12f(2x+1) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

İntegral özelliklerinin uygulanmasıyla elde edilen doğru sonuç 9'dur.
İntegralin aralık bölme özelliğinden yararlanılarak 3 ile 5 sınırları arasındaki integral değeri 6 olarak hesaplanır. Ardından, birinci integralde değişken değiştirme uygulanarak sınırlar 3 ve 5'e dönüştürülür ve katsayı çarpanıyla birlikte bu integralin değeri 3 bulunur. Son olarak iki değer toplandığında 9 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak 3 ile 5 arasındaki integral değerini hesaplayın.
∫35f(x) dx=6\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 6
[1,5][1, 5] aralığı [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye bölünebildiğinden, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx eşitliği yazılır. Buradan 10=4+∫35f(x) dx10 = 4 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx elde edilerek aranan değer 6 bulunur.
2
İlk integral olan ∫12f(2x+1) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx ifadesinde u=2x+1u = 2x+1 değişken değiştirmesini uygulayın.
∫12f(2x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx = 3
u=2x+1u = 2x+1 için du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için u=3u = 3 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Buradan integral ∫35f(u) du2=12∫35f(x) dx=12⋅6=3\int_{3}^{5} f(u) \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 olarak bulunur.
3
Elde edilen iki integral değerini toplayarak sonucu bulun.
3+6=93 + 6 = 9
Toplamı oluşturan ilk terim 3, ikinci terim ise 6 olarak hesaplandığından bu iki değer toplanır.

Key Concept

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic