Examkin

Question

Difficulty: HardBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Bir ff fonksiyonu ve sıfırdan farklı her xx gerçel sayısı için tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu arasında
f′(x)=3x2⋅g(x)+x3⋅g′(x)f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x)
ilişkisi bulunmaktadır.
∫g(x)x4 dx=−2x+3x2+C\int \frac{g(x)}{x^4} \, dx = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + C
eşitliği verildiğine göre, f(1)=−1f(1) = -1 şartını sağlayan ff fonksiyonu için f(2)f(2) değeri kaçtır?
  1. A
    -37
  2. B
    -32
  3. -29Answer
  4. D
    -27
  5. E
    27

Answer

f(2) değeri -29 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının türevi alındığında g(x) fonksiyonu 2x^2 - 6x olarak bulunur. f'(x) ifadesinin x^3 * g(x) çarpımının türevi olduğu görülür. Buradan integral alınarak f(x) = 2x^5 - 6x^4 + C elde edilir. f(1) = -1 koşulundan C = 3 bulunur. Son olarak f(2) = 2(32) - 6(16) + 3 = -29 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
g(x)x4=ddx(−2x−1+3x−2)=2x−2−6x−3=2x2−6x3\frac{g(x)}{x^4} = \frac{d}{dx} \left( -2x^{-1} + 3x^{-2} \right) = 2x^{-2} - 6x^{-3} = \frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3}
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki ifadeye (integranda) e��ittir.
2
Elde edilen denklemde her iki taraf x^4 ile çarpılarak g(x) fonksiyonu yalnız bırakılır.
g(x)=x4⋅(2x2−6x3)=2x2−6xg(x) = x^4 \cdot \left( \frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3} \right) = 2x^2 - 6x
g(x) ifadesini elde etmek için cebirsel sadeleştirme yapılır.
3
f'(x) fonksiyonunun çarpımın türevi kuralından (x^3 * g(x))' ifadesine eşit olduğu fark edilir ve her iki tarafın belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=∫f′(x) dx=∫(x3⋅g(x))′ dx=x3⋅g(x)+C1=x3(2x2−6x)+C1=2x5−6x4+C1f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^3 \cdot g(x))' \, dx = x^3 \cdot g(x) + C_1 = x^3(2x^2 - 6x) + C_1 = 2x^5 - 6x^4 + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1) = -1 başlangıç koşulu kullanılarak C_1 integral sabiti bulunur.
f(1)=2(1)5−6(1)4+C1=−1  ⟹  −4+C1=−1  ⟹  C1=3f(1) = 2(1)^5 - 6(1)^4 + C_1 = -1 \implies -4 + C_1 = -1 \implies C_1 = 3
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri kullanılarak integral sabiti tek bir değere indirgenir.
5
f(x) = 2x^5 - 6x^4 + 3 fonksiyonunda x = 2 yazılarak f(2) değeri hesaplanır.
f(2)=2(2)5−6(2)4+3=64−96+3=−29f(2) = 2(2)^5 - 6(2)^4 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29
Fonksiyonun istenen noktadaki değerini bulmak için x yerine 2 yazılır.

Key Concept

Belirsiz integralin türevi ile integrali arasındaki ilişki, çarpımın türevi kuralının integralde fark edilmesi ve integral sabiti kullanılarak fonksiyonun yeniden elde edilmesi.
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic