Tanım kümesi pozitif gerçel sayılar olan türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int \frac{f'(x)}{x} \, dx = 3x^2 - 4x + C\neşitliği sağlanmaktadır. f(1) = 2 olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?

Tanım kümesi pozitif gerçel sayılar olan türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int \frac{f… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanım kümesi pozitif gerçel sayılar olan türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int \frac{f'(x)}{x} \, dx = 3x^2 - 4x + C

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1) = 2

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının türevi alındığında

\frac{f'(x)}{x} = 6x - 4

elde edilir. Buradan

f'(x) = 6x^2 - 4x

olur. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1

bulunur.

f(1) = 2

koşulu kullanıldığında

2(1)^3 - 2(1)^2 + C_1 = 2 \implies C_1 = 2

elde edilir. Sonuç olarak,

f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 2

fonksiyonunda

x = 2

yazıldığında

f(2) = 2(8) - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10

değerine ulaşılır.

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır.

\frac{f'(x)}{x} = 6x - 4

İntegral işaretini kaldırmak ve içerideki ifadeyi elde etmek için türev alma kuralı uygulanır.

f'(x)

ifadesi yalnız bırakılarak fonksiyonun türevi bulunur.

f'(x) = 6x^2 - 4x

Paydadaki

x

değişkeni karşı tarafa çarpım olarak gönderilir.

f(x)

fonksiyonuna ulaşmak için elde edilen türevin belirsiz integrali alınır.

f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1

Polinom fonksiyonların integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.

f(1) = 2

başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti bulunur ve

f(2)

değeri hesaplanır.

C_1 = 2

ve buradan

f(2) = 10

bulunur.

Başlangıç değeriyle fonksiyonun tek bir fonksiyon olarak belirlenmesi sağlanır ve istenen değer hesaplanır.

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve polinom fonksiyonların integral alma kuralları