x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, \frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3

olduğuna göre,

\tan x

değeri kaçtır?

Answer: 0.5

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

\cos(2x) = \frac{3}{5}

denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta

\tan x

değeri

0.5

olarak bulunur.

Verilen denklemde pay

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

şeklinde açılıp payda

\sin(2x)

parantezine alındığında,

\sin(2x)

terimleri sadeleşerek

\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

\cos(2x) = 0.6

bulunur.

x \in (0, \pi/4)

aralığı için

\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}

özdeşliği kullanılarak

\tan x = 0.5

değeri tek olarak elde edilir.

Payda bulunan

\sin(4x)

ifadesine yarım açı formülünü uygulamak

2\sin(2x)\cos(2x)

Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.

Paydayı ortak çarpan parantezine almak

\sin(2x)(1 - \cos(2x))

Payda kısmındaki ortak

\sin(2x)

terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.

İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak

\cos(2x) = \frac{3}{5}

Pay ve paydadaki

\sin(2x)

terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.

Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak

\tan x = 0.5

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

formülü uygulanıp

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.

Question