Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)sin⁡2xcos⁡2x=12\frac{\cos^2(2x) - \sin^2(2x)}{\sin^2 x \cos^2 x} = 12

olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?

Answer: -0.28

Answer

İfadenin doğru cevabı -0.28 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) biçimine dönüştürülür. cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) özdeşliği yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=1/5\sin^2(2x) = 1/5 ve cos⁡(4x)=3/5\cos(4x) = 3/5 elde edilir. Son olarak cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 formülünden doğru cevap -7/25 yani -0.28 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri yarım açı formülleri cinsinden yazın.
Pay: cos⁡(4x)\cos(4x), Payda: sin⁡2(2x)4\frac{\sin^2(2x)}{4}
İfadeyi tek bir açı türüne indirgemek ve sadeleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeleri verilen denklemde yerine koyup düzenleyin.
4cos⁡(4x)sin⁡2(2x)=12  ⟹  cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\frac{4\cos(4x)}{\sin^2(2x)} = 12 \implies \cos(4x) = 3\sin^2(2x)
cos⁡(4x)\cos(4x) ve sin⁡2(2x)\sin^2(2x) arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) yerine kosinüsün yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(2x)1 - 2\sin^2(2x) yazarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini hesaplayın.
1−2sin⁡2(2x)=3sin⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)=151 - 2\sin^2(2x) = 3\sin^2(2x) \implies \sin^2(2x) = \frac{1}{5}
İkinci dereceden denklemi çözerek sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini elde etmek için.
4
sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) değerini bulun.
cos⁡(4x)=1−2(15)=35\cos(4x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5}
Bir sonraki ad��mda cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplarken cos⁡(4x)\cos(4x) değerine ihtiyaç duyulduğu için.
5
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayın.
cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1=2(35)2−1=−725=−0.28\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 = 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} = -0.28
Soru kökündeki istenen değeri elde etmek için.

Key Concept

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının yarım açı formüllerinin uygulanması ve denklemlerin çözülmesi.

Alternative Method

cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) eşitliğinde sin⁡2(2x)=1−cos⁡2(2x)\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) yazılarak doğrudan cos⁡(2x)\cos(2x) veya cos⁡(4x)\cos(4x) üzerinden de çözüme gidilebilir: cos⁡(4x)=3(1−cos⁡2(2x))=3(1−1+cos⁡(4x)2)\cos(4x) = 3(1 - \cos^2(2x)) = 3\left(1 - \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) denkleminden cos⁡(4x)=3−32−32cos⁡(4x)  ⟹  52cos⁡(4x)=32  ⟹  cos⁡(4x)=35\cos(4x) = 3 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) \implies \frac{5}{2}\cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = \frac{3}{5} bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic