Şekildeki ABC üçgeninde A, B, C ve D noktaları verilmiştir. C, D ve B noktaları doğrusaldı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ noktaları verilmiştir. $C$ , $D$ ve $B$ noktaları doğrusaldır.

\begin{aligned} |AC| &= 3\text{ birim} \\ |AB| &= 7\text{ birim} \\ |BC| &= 5\text{ birim} \end{aligned}

$[BC]$ kenarı üzerinde $|CD| = 2\text{ birim}$ olacak şekilde bir $D$ noktası belirlenmiştir.

Buna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç birimdir?

Kosinüs Teoremi yardımıyla

|AD| = \sqrt{19}

birim olarak bulunur.

Büyük üçgende uygulanan Kosinüs Teoremi ile ortak

C

açısının kosinüsü

\cos C = -1/2

olarak bulunur. Bu değer,

ADC

üçgeninde tekrar Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazılarak

|AD|^2 = 19

ve dolayısıyla

|AD| = \sqrt{19}

sonucuna ulaşılır.

ABC

üçgeninin tamamında

C

açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C

formülünden,

7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C

49 = 9 + 25 - 30 \cos C

49 = 34 - 30 \cos C

30 \cos C = -15 \implies \cos C = -\frac{1}{2}

elde edilir.

ADC

üçgeninde aranan kenarı bulabilmek için öncelikle ortak olan

C

açısının kosinüs değerinin belirlenmesi gerekir.

ADC

üçgeninde

[CD]

kenarına komşu olan

C

açısı kullanılarak Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |CD| \cdot \cos C

formülünden,

|AD|^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

|AD|^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

|AD|^2 = 13 + 6 = 19 \implies |AD| = \sqrt{19}

birim elde edilir.

İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü bilinen

ADC

üçgeninde, bilinmeyen üçüncü kenar uzunluğu bu yolla doğrudan hesaplanır.

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question