Examkin

Question

Difficulty: Very hardBelirli İntegral ve Özellikleri

Her noktada sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için

f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre,

∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Answer: 12

Answer

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğinden ötürü integral [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarına bölünür ve [1,3][1, 3] aralığındaki parça, yapılan değişken değiştirme ile [−1,1][-1, 1] aralığına taşınarak baştaki integral ile özdeş kılınır. Böylece tüm integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ifadesine eşit olur. f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinden yararlanılarak bu integralin değeri kolayca 1212 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğini kullanarak ∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx integralini x=1x=1 noktasından iki parçaya ayıralım.
∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği fonksiyonun grafiğinin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğunu belirtir, bu nedenle integrali bu simetri ekseninde parçalamak işlemleri kolaylaştırır.
2
İkinci integral olan ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesinde u=2−xu = 2-x dönüşümü uygulayalım ve integral sınırlarını güncelleyelim.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=3  ⟹  u=−1x=3 \implies u=-1 olur. Buradan ∫13f(x) dx=∫−11f(2−u) du\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(2-u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarını [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak ve birinci integral ile ilişkilendirmek için değişken değiştirme uygulanır.
3
f(2−u)=f(u)f(2-u) = f(u) eşitliğini kullanarak integral ifadesini sadeleştirelim.
∫13f(x) dx=∫−11f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx olur. Dolayısıyla, aradı��ımız integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx haline gelir.
Simetri özelliği sayesinde iki farklı aralıktaki integrallerin birbirine eşit olduğu gösterilmiş olur.
4
f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinin her iki yanının [−1,1][-1, 1] aralığında integralini alalım.
∫−11f(x) dx+∫−11f(−x) dx=∫−11(6x2+4) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(-x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx
Fonksiyonun tek-çift simetri özelliklerinden faydalanarak doğrudan ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin değerine ulaşmak hedeflenir.
5
∫−11f(−x) dx\int_{-1}^{1} f(-x) \, dx integralinde t=−xt = -x dönüşümü yaparak sadeleştirme sağlayalım.
2∫−11f(x) dx=∫−11(6x2+4) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx eşitliği elde edilir.
−x-x dönüşümü sınırları tersine çevirse de diferansiyeldeki eksi işareti ile sınırlar eski haline döner ve integralin değeri değişmez.
6
Sağ taraftaki belirli integrali hesaplayarak nihai sonucu bulalım.
[2x3+4x]−11=(2+4)−(−2−4)=6−(−6)=12\left[ 2x^3 + 4x \right]_{-1}^{1} = (2 + 4) - (-2 - 4) = 6 - (-6) = 12 bulunur.
Temel analiz teoremi (Newton-Leibniz) kullanılarak polinomun belirli integrali hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde sınır değiştirme, değişken değiştirme ve fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla integral hesabı.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic