Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
ve
∫12x⋅f(x2+1) dx=4\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    2
  2. 4Answer
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    -2

Answer

İntegralin değeri 4'tür.
Dönüşümler yapıldığında ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 ve ∫25f(x) dx=8\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8 değerleri bulunur. Belirli integralin sınırları bölme özelliği kullanılarak ∫12f(x) dx=12−8=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 - 8 = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci integralde değişken de��iştirme yöntemini uygulayalım.
u=2x−1  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=3  ⟹  u=5x = 3 \implies u = 5 elde edilir. Buradan,
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)du2=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
bulunur.
Verilen ilk integral ifadesini sadeleştirmek ve standart f(x)f(x) formuyla ifade edebilmek için değişken değiştirme uygulanır.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
v=x2+1  ⟹  dv=2x dx  ⟹  x dx=dv2v = x^2 + 1 \implies dv = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=2x = 1 \implies v = 2 ve x=2  ⟹  v=5x = 2 \implies v = 5 elde edilir. Buradan,
∫12x⋅f(x2+1) dx=∫25f(v)dv2=4  ⟹  ∫25f(x) dx=8\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(v) \frac{dv}{2} = 4 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8
bulunur.
İkinci integral ifadesini standart f(x)f(x) integraline dönüştürmek için x2+1x^2+1 ifadesine yeni bir değişken atanır.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanalım.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx
Elde ettiğimiz değerleri yerine yazarsak;
12=∫12f(x) dx+8  ⟹  ∫12f(x) dx=412 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
bulunur.
Sınırları [1,5][1, 5] olan integral, [1,2][1, 2] ve [2,5][2, 5] aralıklarında iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve integralin sınırları bölme özelliği
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic