Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff tek fonksiyonu için
∫−13f(2x−3) dx=6\int_{-1}^{3} f(2x-3) \, dx = 6
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12(x⋅f(2x2+1)+4x) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} (x \cdot f(2x^2+1) + 4x) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    -10
  3. -1Answer
  4. D
    14
  5. E
    -4

Answer

-1 değeri doğrudur.
İntegralin lineerlik özelliği ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulanıp tek fonksiyon simetrisiyle ∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 değeri elde edildikten sonra ikinci integral −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 değişken değiştirmesi yapılması
∫−53f(u) du=12\int_{-5}^{3} f(u) \, du = 12 elde edilir.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=−1  ⟹  u=−5x = -1 \implies u = -5 ve x=3  ⟹  u=3x = 3 \implies u = 3 olarak güncellenir. Buradan 12∫−53f(u) du=6  ⟹  ∫−53f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{-5}^{3} f(u) \, du = 6 \implies \int_{-5}^{3} f(x) \, dx = 12 bulunur.
2
ff fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğinin kullanılması
∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 olarak bulunur.
ff tek fonksiyon olduğundan ∫−33f(x) dx=0\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 0 olur. Bu durumda ∫−53f(x) dx=∫−5−3f(x) dx+∫−33f(x) dx=12  ⟹  ∫−5−3f(x) dx=12\int_{-5}^{3} f(x) \, dx = \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 12 \implies \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = 12 olur. Tek fonksiyon simetrisinden ∫−5−3f(x) dx=−∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=−12\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = -\int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 elde edilir.
3
İkinci integralin lineerlik özelliği ile iki parçaya ayrılması ve t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılması
İstenen integral değeri −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak bulunur.
∫124x dx=[2x2]12=4−2=2\int_{1}^{\sqrt{2}} 4x \, dx = [2x^2]_{1}^{\sqrt{2}} = 4 - 2 = 2 olur. Diğer parça olan ∫12x⋅f(2x2+1) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2x^2+1) \, dx için t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılırsa dt=4x dx  ⟹  x dx=dt4dt = 4x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{4} olur. Sınırlar x=1  ⟹  t=3x = 1 \implies t = 3 ve x=2  ⟹  t=5x = \sqrt{2} \implies t = 5 olur. Buradan 14∫35f(t) dt=14(−12)=−3\frac{1}{4} \int_{3}^{5} f(t) \, dt = \frac{1}{4} (-12) = -3 elde edilir. Toplam sonuç −3+2=−1-3 + 2 = -1 olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve tek fonksiyonların simetrik aralıktaki integral özelliklerinin kullanılması.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic