Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(2x+1) dx=12\int_{1}^{4} f(2x+1) \, dx = 12
∫23f(3x−3) dx=5\int_{2}^{3} f(3x-3) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫69f(x) dx\int_{6}^{9} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    7
  2. 9Answer
  3. C
    17
  4. D
    19
  5. E
    39

Answer

9
Doğru cevap olan 9 değeri, her iki integralde de değişken değiştirme yapılarak integral sınırlarının ve diferansiyel ifadelerinin doğru şekilde güncellenmesi ve ardından belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak aralarındaki farkın alınması ile elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \, du = 24
u=2x+1u = 2x+1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için x=1  ⟹  u=3x=1 \implies u=3 ve x=4  ⟹  u=9x=4 \implies u=9 elde edilir. Buradan ∫39f(u)⋅du2=12  ⟹  ∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 12 \implies \int_{3}^{9} f(u) \, du = 24 bulunur.
2
İkinci integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15
v=3x−3v = 3x-3 dönüşümü yapıldığında dv=3 dx  ⟹  dx=dv3dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} olur. Sınırlar için x=2  ⟹  v=3x=2 \implies v=3 ve x=3  ⟹  v=6x=3 \implies v=6 elde edilir. Buradan ∫36f(v)⋅dv3=5  ⟹  ∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \cdot \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15 bulunur.
3
Belirli integralin sınırları parçalama özelliği kullanılarak hedef integral hesaplanır.
∫69f(x) dx=9\int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9
∫39f(x) dx=∫36f(x) dx+∫69f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{3}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Bulunan değerler yerine yazıldığında 24=15+∫69f(x) dx  ⟹  ∫69f(x) dx=924 = 15 + \int_{6}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9 elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanması.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic