Examkin

Question

Difficulty: Very hardYarım Açı Formülleri
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)+tan⁡(π4−x)=56\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} + \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{5}{6}
olduğuna göre, 25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Answer: 7

Answer

25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri 77'dir.
Verilen trigonometrik eşitlik sadeleştirildiğinde tan⁡x\tan x değerinin 1/31/3 olduğu bulunur (1/21/2 kökü tanım aralığının dışındadır). tan⁡x=1/3\tan x = 1/3 değeri kullanılarak yarım açı formülleriyle cos⁡(2x)=4/5\cos(2x) = 4/5 ve cos⁡(4x)=7/25\cos(4x) = 7/25 elde edilir. Bu değer 2525 ile çarpıldığında 77 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} ifadesini sadeleştirmek için yarım açı formüllerini uygulayalım.
Pay: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x\cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)
Payda: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x\cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)
Oranlandığında ifade tan⁡x\tan x olur.
İfadeyi daha basit bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
2
tan⁡(π4−x)\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) ifadesini toplam-fark formülü kullanarak açalım.
tan⁡(π4−x)=tan⁡(π/4)−tan⁡x1+tan⁡(π/4)tan⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan x}{1 + \tan(\pi/4)\tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}
Tüm terimleri aynı trigonometrik değişken türünden yazmak.
3
tan⁡x=t\tan x = t dönüşümü yaparak denklemi rasyonel formda kuralım ve çözelim.
t+1−t1+t=56  ⟹  t2+1t+1=56  ⟹  6t2−5t+1=0t + \frac{1-t}{1+t} = \frac{5}{6} \implies \frac{t^2+1}{t+1} = \frac{5}{6} \implies 6t^2 - 5t + 1 = 0
Denklemin kökleri (2t−1)(3t−1)=0(2t-1)(3t-1)=0 eşitliğinden t=12t = \frac{1}{2} ve t=13t = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Değişken değiştirme yöntemiyle kök değerlerini elde etmek.
4
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) tanım aralığına uygun kökü seçelim.
tan⁡(π/8)=2−1≈0.414\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1 \approx 0.414 olduğundan, t=12=0.5t = \frac{1}{2} = 0.5 aralık dışındadır. t=13≈0.333t = \frac{1}{3} \approx 0.333 aralığa uygundur. Buradan tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} seçilir.
Belirtilen dar açı aralık sınırını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
5
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} yardımıyla cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/91+1/9=8/10=45\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{8/10} = \frac{4}{5}
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının kosinüsüne geçiş yapmak.
6
cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayıp istenen ifadeyi bulalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(45)2−1=3225−1=725\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25} olur. Buradan 25⋅cos⁡(4x)=25⋅725=725 \cdot \cos(4x) = 25 \cdot \frac{7}{25} = 7 bulunur.
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde yarım açı ve toplam-fark formüllerinin birlikte kullanımı ile tanım kümesi sınırlamalarına göre kök eleme analizi.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic