\log_{0,2}(x^2 - 2x) \geq \log_{0,2}(x + 4) \neşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının top… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_{0,2}(x^2 - 2x) \geq \log_{0,2}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 6

Answer

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 6'dır.

Verilen logaritmik eşitsizlikte taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmanın içi yön değiştirerek

x^2 - 2x \leq x + 4

olur ve buradan

[-1, 4]

aralığı elde edilir. Logaritmanın tanım kümeleri olan

x^2 - 2x > 0

x + 4 > 0

şartları birleştirildiğinde

x \in (-4, 0) \cup (2, \infty)

bulunur. Bu iki kümenin kesişimi

[-1, 0) \cup (2, 4]

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar

-1, 3

4

olup toplamları 6'dır.

Step-by-Step Solution

Eşitsizliğin logaritmasız halini yazma

x^2 - 2x \leq x + 4

Logaritma tabanı olan

0,2

değeri

0

ile

1

arasında olduğundan, logaritma fonksiyonu azaland��r ve eşitsizlik yön değiştirir.

İkinci dereceden eşitsizliği çözme

x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]

Eşitsizliğin sınırlarını belirleyerek değişkenin alabileceği temel aralığı bulmak için.

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleme

x^2 - 2x > 0 \implies x < 0

veya

x > 2

x + 4 > 0 \implies x > -4

. Kesişimleri:

x \in (-4, 0) \cup (2, \infty)

Gerçek sayılarda logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şarttır.

Çözüm aralığı ile tanım kümesini kesiştirme

[-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]

Hem cebirsel eşitsizliği hem de logaritmanın tanım kümesini aynı anda sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.

Aralıktaki tam sayıları belirleyip toplama

Tam sayılar:

-1, 3, 4

. Toplam:

-1 + 3 + 4 = 6

Soruda istenen

x

tam sayılarının toplamını hesaplamak için.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (pozitiflik şartı) çözüm kümesiyle kesiştirilmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic