Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) olmak üzere,
sqrt1−sin(2x)+sqrt1+sin(2x)=frac2413\\sqrt{1 - \\sin(2x)} + \\sqrt{1 + \\sin(2x)} = \\frac{24}{13}
olduğuna göre, cos(2x)\\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    frac119169\\frac{119}{169}
  2. B
    frac120169\\frac{120}{169}
  3. −frac119169-\\frac{119}{169}Answer
  4. D
    −frac120169-\\frac{120}{169}
  5. E
    −frac73169-\\frac{73}{169}

Answer

−frac119169-\\frac{119}{169}
Verilen aralıkta kareköklü ifadeler mutlak değer dışına sırasıyla sinx−cosx\\sin x - \\cos x ve sinx+cosx\\sin x + \\cos x olarak çıkar. Bu iki ifadenin toplamı 2sinx2\\sin x değerine eşittir. Buradan sinx=frac1213\\sin x = \\frac{12}{13} ve ikinci bölgedeki işaret dikkate alınarak cosx=−frac513\\cos x = -\\frac{5}{13} bulunur. Kosinüs yarım açı formülüyle cos(2x)=cos2x−sin2x=−frac119169\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = -\\frac{119}{169} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kareköklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri tam kare formuna dönüştürün.
1−sin(2x)=sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)21 - \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x - 2\\sin x\\cos x = (\\sin x - \\cos x)^2
1+sin(2x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)21 + \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x + 2\\sin x\\cos x = (\\sin x + \\cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare açılımlarından yararlanılır.
2
İfadeleri kök dışına mutlak değer olarak çıkarın ve verilen açı aralığına göre işaretlerini belirleyin.
sqrt(sinx−cosx)2=∣sinx−cosx∣\\sqrt{(\\sin x - \\cos x)^2} = |\\sin x - \\cos x|
sqrt(sinx+cosx)2=∣sinx+cosx∣\\sqrt{(\\sin x + \\cos x)^2} = |\\sin x + \\cos x|

xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) aralığında (II. bölge):
* sinx>0\\sin x > 0 ve cosx<0\\cos x < 0 değerlerini alır.
* Bu aralıktaki açılar için sinx>∣cosx∣\\sin x > |\\cos x| olduğundan, sinx>−cosx\\sin x > -\\cos x olur.

Buradan:
* sinx−cosx>0implies∣sinx−cosx∣=sinx−cosx\\sin x - \\cos x > 0 \\implies |\\sin x - \\cos x| = \\sin x - \\cos x
* sinx+cosx>0implies∣sinx+cosx∣=sinx+cosx\\sin x + \\cos x > 0 \\implies |\\sin x + \\cos x| = \\sin x + \\cos x

Toplam ifadesi:
(sinx−cosx)+(sinx+cosx)=2sinx(\\sin x - \\cos x) + (\\sin x + \\cos x) = 2\\sin x şeklinde sadeleşir.
II. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini doğru tayin ederek mutlak değer dışına çıkarma işlemini hatasız tamamlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi çözerek sinx\\sin x değerini bulun, ardından cosx\\cos x ve cos(2x)\\cos(2x) değerlerini hesaplayın.
2sinx=frac2413impliessinx=frac12132\\sin x = \\frac{24}{13} \\implies \\sin x = \\frac{12}{13}

II. bölgede cosx<0\\cos x < 0 olduğundan:
cosx=−sqrt1−sin2x=−sqrt1−left(frac1213right)2=−frac513\\cos x = -\\sqrt{1 - \\sin^2 x} = -\\sqrt{1 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2} = -\\frac{5}{13}

Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak cos(2x)\\cos(2x) değerini bulun:
cos(2x)=cos2x−sin2x=left(−frac513right)2−left(frac1213right)2\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = \\left(-\\frac{5}{13}\\right)^2 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2
cos(2x)=frac25169−frac144169=−frac119169\\cos(2x) = \\frac{25}{169} - \\frac{144}{169} = -\\frac{119}{169}
Yarım açı formülü yardımıyla tek bir açının trigonometrik değerinden iki katı olan açının kosinüs değerine geçiş yapılır.

Key Concept

Tam kare ifadelerin mutlak değer yardımıyla kök dışına çıkarılması ve kosinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic