(2, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 - 4} \, dx \neşitliği veriliyor. f(4) = 24 olduğuna göre, f(6) değeri kaçtır?

(2, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int \frac{x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$(2, \infty)$ aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için

f(x) = \int \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 - 4} \, dx

eşitliği veriliyor.

$f(4) = 24$ olduğuna göre, $f(6)$ değeri kaçtır?

Doğru cevap 40'tır.

İntegral içerisindeki rasyonel ifadenin payı gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında

(x^2 - 4)(x + 3)

elde edilir. Paydadaki terim ile sadeleştiğinde geriye kalan

x + 3

ifadesinin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C

fonksiyonuna ulaşılır. Verilen sınır koşulundan integral sabiti

C = 4

olarak hesaplanır. Tanımlanan fonksiyonda değer yerine yazılarak doğru sonuç olan 40 değerine ulaşılır.

İntegral içindeki rasyonel ifadenin pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.

x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x^2 - 4)(x + 3)

olduğundan, rasyonel ifade

\frac{(x^2 - 4)(x + 3)}{x^2 - 4} = x + 3

şeklinde sadeleşir.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek gerekir.

Sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini hesaplayarak fonksiyon kuralını oluşturun.

f(x) = \int (x + 3) \, dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C

elde edilir.

Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel kuralı ve integral sabiti belirlenir.

Verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini hesaplayın.

f(4) = \frac{4^2}{2} + 3(4) + C = 20 + C = 24

eşitliğinden

C = 4

bulunur.

Fonksiyonun kuralını tam olarak elde etmek için integral sabitinin bulunması gerekir.

Elde edilen fonksiyon kuralında istenen x değerini yerine yazarak sonucu hesaplayın.

f(6) = \frac{6^2}{2} + 3(6) + 4 = 18 + 18 + 4 = 40

bulunur.

Soruda bizden istenen hedef değeri elde etmek için fonksiyon kuralı kullanılır.

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları