Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡4x−cos⁡4xtan⁡x−cot⁡x=38\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\tan x - \cot x} = \frac{3}{8}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Answer: 0.75

Answer

İfadenin sadeleştirilmiş hali 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) olup, verilen eşitlikten sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifadenin pay ve paydası yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) ifadesi elde edilir. Bu ifade 38\frac{3}{8} değerine eşitlendiğinde sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak sadeleştirin.
sin⁡4x−cos⁡4x=−cos⁡(2x)\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos(2x)
sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) olup sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazıp paydalarını eşitleyerek yarım açı formülleriyle sadeleştirin.
tan⁡x−cot⁡x=−2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\tan x - \cot x = \frac{-2\cos(2x)}{\sin(2x)}
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olup, pay için yarım açıdan −cos⁡(2x)-\cos(2x), payda için ise 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) yazılmıştır.
3
Pay ve payda ifadelerini oranlayarak denklemi çözün.
sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75
−cos⁡(2x)−cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=12sin⁡(2x)=38  ⟹  sin⁡(2x)=34=0.75\frac{-\cos(2x)}{\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)}} = \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{3}{8} \implies \sin(2x) = \frac{3}{4} = 0.75 elde edilir.

Key Concept

Trigonometride iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme ve sinüs ile kosinüsün yarım açı formüllerinin uygulanması.

Alternative Method

Payda kısmında tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡(2x)\tan x - \cot x = -2\cot(2x) özdeşliği doğrudan kullanılabilir. Bu özdeşlik cot⁡(2x)=cot⁡2x−12cot⁡x\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} formülünün ters çevrilip eksi ile çarpılmış halidir. Bu sayede payda doğrudan −2cot⁡(2x)-2\cot(2x) olarak yazılıp sadeleştirme daha hızlı yapılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic