Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=cos⁡(11π2+θ)a = \cos\left(\frac{11\pi}{2} + \theta\right)
b=sin⁡(7π2−θ)b = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)
c=cot⁡(9π2−θ)c = \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1c=cot⁡(9π2−θ)c = \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)
  2. 2b=sin⁡(7π2−θ)b = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)
  3. 3a=cos⁡(11π2+θ)a = \cos\left(\frac{11\pi}{2} + \theta\right)

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir. İkinci bölgedeki θ\theta açısı için tanjant değeri negatif olduğundan c=tan⁡θc = \tan\theta en küçük değerdir. Pozitif olan a=sin⁡θa = \sin\theta ve b=−cos⁡θb = -\cos\theta değerleri karşılaştırıldığında, θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡θ>−cos⁡θ\sin\theta > -\cos\theta olduğu görülür, bu nedenle en büyük değer aa olur.

Step-by-Step Solution

1
Açıların esas ölçülerini bulup indirgeme formüllerini uygulayarak aa, bb ve cc ifadelerini θ\theta cinsinden yazalım.
a=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θa = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta, b=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θb = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta ve c=cot⁡(π2−θ)=tan⁡θc = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta elde edilir.
İfadeleri tek bir açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak amacıyla indirgeme kuralları uygulanır.
2
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre (yani 90∘<θ<135∘90^\circ < \theta < 135^\circ aralığı) elde ettiğimiz trigonometrik değerlerin işaretlerini inceleyelim.
a=sin⁡θ>0a = \sin\theta > 0, b=−cos⁡θ>0b = -\cos\theta > 0 ve c=tan⁡θ<0c = \tan\theta < 0 olur.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatif ve tanjant negatif olduğu için işaret analiziyle negatif olan cc değerinin en küçük olduğu belirlenir.
3
Pozitif olan aa ve bb değerlerini karşılaştıralım. θ=90∘+x\theta = 90^\circ + x (burada 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ) dönüşümü yapalım.
a=sin⁡(90∘+x)=cos⁡xa = \sin(90^\circ + x) = \cos x ve b=−cos⁡(90∘+x)=sin⁡xb = -\cos(90^\circ + x) = \sin x olur. 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan a>ba > b sonucuna ulaşılır.
Aynı bölgede yer alan pozitif değerli trigonometrik büyüklükleri birbirleriyle kıyaslamak için dar açı dönüşümünden yararlanılır.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki karşılıklarının bulunması ve belirli bir aralıkta işaret/büyüklük analizi yapılarak sıralanması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic