x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, \frac{\sin(4x) \cdot \tan(x)}{1 - \cos(2x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin(4x) \cdot \tan(x)}{1 - \cos(2x)} = 1.2

olduğuna göre,

\tan^2(x)

değeri kaçtır?

Answer: 0.25

Doğru cevap 0.25'tir.

Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde

2\cos(2x) = 1.2

elde edilir. Buradan

\cos(2x) = 0.6

bulunur.

\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}

formülü uygulandığında

\tan^2(x) = 0.25

sonucuna ulaşılır.

Payda yer alan

\sin(4x)

\tan(x)

ifadelerine yarım açı ve trigonometrik özdeşlikler uygulanır.

\sin(4x)\tan(x) = 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 4\sin^2(x)\cos(2x)

Pay kısmını sade bir çarpım durumuna getirmek için yarım açı formüllerinden yararlanılır.

Paydada yer alan

1 - \cos(2x)

terimine

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)

yarım açı formülü uygulanır.

1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)

Pay kısmındaki

\sin^2(x)

terimiyle sadeleşebilecek bir ifade elde etmek.

Elde edilen sadeleşmiş terimler birbirine oranlanarak verilen sayısal değere eşitlenir.

\frac{4\sin^2(x)\cos(2x)}{2\sin^2(x)} = 2\cos(2x) = 1.2 \implies \cos(2x) = 0.6

Bilinmeyen açının yarım açı değerine ulaşmak.

\cos(2x)

ile

\tan^2(x)

arasındaki ilişkiden faydalanılarak

\tan^2(x)

değeri çekilir.

0.6 = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)} \implies 0.6 + 0.6\tan^2(x) = 1 - \tan^2(x) \implies 1.6\tan^2(x) = 0.4 \implies \tan^2(x) = 0.25

İstenen trigonometrik oranı elde etmek.

Yarım Açı Formülleri

\cos(2x) = 0.6

bulunduktan sonra dik üçgen çizilerek

2x

açısı yerleştirilebilir. Buradan

\tan(2x) = 4/3

bulunur. Daha sonra

\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}

yarım açı formülü kullanılarak da

\tan(x)

ve oradan

\tan^2(x) = 0.25

değerine ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question