Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡13(x2−3x)+1log⁡2(x−2)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1}{\log_2(x - 2) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. 9Answer
  2. B
    12
  3. C
    14
  4. D
    15
  5. E
    20

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 9'dur.
Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı, logaritmanın tanım kümesi ve taban özelliklerine göre yapılan işaret tablosu sonucunda elde edilen [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığındaki tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı olan 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikte yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gereken koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3 ve x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi x>3x > 3 olarak elde edilir.
Logaritması alınan ifadelerin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olmaları zorunludur.
2
Payın kökünü bulmak için pay sıfıra eşitlenir.
log⁡13(x2−3x)+1=0  ⟹  log⁡13(x2−3x)=−1  ⟹  x2−3x=3  ⟹  x2−3x−3=0\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) = -1 \implies x^2 - 3x = 3 \implies x^2 - 3x - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=3±212x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} dir. Tanım kümesine (x>3x > 3) uygun olan kök x=3+212≈3,79x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \approx 3,79 dur.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan payın kökünün bulunması gerekir.
3
Paydanın kökünü bulmak için payda sıfıra eşitlenir.
log⁡2(x−2)−2=0  ⟹  log⁡2(x−2)=2  ⟹  x−2=4  ⟹  x=6\log_2(x - 2) - 2 = 0 \implies \log_2(x - 2) = 2 \implies x - 2 = 4 \implies x = 6 bulunur. Bu kök tanım kümesindedir ancak paydayı sıfır yaptığ�� için çözüm kümesine dahil edilmeyecektir.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan paydanın kökünün bulunması gerekir.
4
Bulunan kökler ve tanım kümesi göz önüne alınarak bir işaret tablosu oluşturulur.
Tabloda x>3x > 3 bölgesi incelenir. [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığında pay ve payda negatif olduğundan bölüm pozitif (≥0\geq 0) olur. Diğer aralıklarda ise negatif sonuç elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümesi [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralığı belirlemek için işaret incelemesi yapılmalıdır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
[3+212,6)≈[3,79,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) \approx [3,79, 6) aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu sayıların toplamı 4+5=94 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen toplamı bulmak için çözüm kümesindeki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritmik Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kısıtlamaları

Alternative Method

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için tanım kümesi olan x>3x > 3 şartını sağlayan tam sayılar (4,5,6,7,…4, 5, 6, 7, \dots) teker teker eşitsizlikte yerine yazılarak da kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic