Examkin

Question

Difficulty: Very hardBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)
f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4
eşitliklerini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre, ∫07f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    13
  3. 15Answer
  4. D
    16
  5. E
    21

Answer

15
Verilen fonksiyonun simetri özelliğinden dolayı [0,2][0,2] aralığındaki integral değeri 6'dır. f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4 ilişkisi entegre edilerek [2,4][2,4] aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur. Fonksiyonun 4 periyotlu olduğu belirlendikten sonra [0,7][0,7] aralığındaki integral, [0,4][0,4] ve [4,7][4,7] (yani [0,3][0,3]) aralıklarına bölünür. [2,3][2,3] aralığındaki integral değeri öteleme ve fonksiyon ilişkisi kullanılarak 1 olarak hesaplanır. Tüm bu değerlerin toplamından doğru sonuca (15) ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Simetri özelliğini kullanarak [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulma
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği, fonksiyon grafiğinin x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğunu gösterir. Buradan, ∫12f(x) dx=∫01f(x) dx=3\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3 olur. Dolayısıyla, ∫02f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx=3+3=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 + 3 = 6 elde edilir.
2
Öteleme özelliğini kullanarak [2,4][2, 4] aralığındaki integral değerini bulma
∫24f(x) dx=2\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2
f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4 eşitliğini [0,2][0, 2] aralığında entegre edersek: ∫02f(x) dx+∫02f(x+2) dx=∫024 dx=8\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x+2) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 olur. İkinci integralde u=x+2u = x+2 dönüşümü yapılırsa, s��nırların 22 ve 44 olduğu görülür ve ∫24f(u) du\int_{2}^{4} f(u) \, du elde edilir. Buradan 6+∫24f(x) dx=8  ⟹  ∫24f(x) dx=26 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2 bulunur.
3
Fonksiyonun periyodunu belirleme ve [0,4][0, 4] aralığındaki toplam integral değerini bulma
ff fonksiyonu 44 periyotludur ve ∫04f(x) dx=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8
f(x+2)=4−f(x)f(x+2) = 4 - f(x) olduğundan, f(x+4)=4−f(x+2)=4−(4−f(x))=f(x)f(x+4) = 4 - f(x+2) = 4 - (4 - f(x)) = f(x) olur. Bu durumda fonksiyon 44 periyotludur. [0,4][0, 4] aralığındaki integral ise ∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=6+2=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 + 2 = 8 olur.
4
[0,7][0, 7] aralığındaki integrali periyoda göre parçalama
∫07f(x) dx=8+∫03f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx
Periyodiklikten dolayı ∫07f(x) dx=∫04f(x) dx+∫47f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{7} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir. f(x)f(x) fonksiyonu 44 periyotlu olduğundan ∫47f(x) dx=∫03f(x) dx\int_{4}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx olur. Buradan ∫07f(x) dx=8+∫03f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx elde edilir.
5
[2,3][2, 3] aralığındaki integral değerini bulma
∫23f(x) dx=1\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 1
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx integralinde u=x−2u = x-2 dönüşümü yapılırsa, integral ∫01f(u+2) du\int_{0}^{1} f(u+2) \, du şekline dönüşür. f(u+2)=4−f(u)f(u+2) = 4 - f(u) eşitliği kullanılarak, ∫01(4−f(u)) du=∫014 du−∫01f(u) du=4−3=1\int_{0}^{1} (4 - f(u)) \, du = \int_{0}^{1} 4 \, du - \int_{0}^{1} f(u) \, du = 4 - 3 = 1 bulunur.
6
Sonucu hesaplama
∫07f(x) dx=15\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 15
∫03f(x) dx=∫02f(x) dx+∫23f(x) dx=6+1=7\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 6 + 1 = 7 olur. Bu değer yerine yazıldığında, istenen integral ∫07f(x) dx=8+7=15\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + 7 = 15 olarak bulunur.

Key Concept

Belirli integralde simetri, periyodiklik ve değişken değiştirme (öteleme) özelliklerinin birlikte kullanılması.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic