Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tanımlı olduğu xx gerçel sayı değerleri için,

cos⁡(7π2−x)+sin⁡(x−5π)sin⁡(11π2+x)+cos⁡(3π−x)\frac{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) + \sin(x - 5\pi)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) + \cos(3\pi - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −tan⁡(x)-\tan(x)
  2. B
    cot⁡(x)\cot(x)
  3. tan⁡(x)\tan(x)Answer
  4. D
    −cot⁡(x)-\cot(x)
  5. E
    −1-1

Answer

tan⁡(x)\tan(x)
İfadenin payı sadeleştirildiğinde −2sin⁡(x)-2\sin(x), paydası ise −2cos⁡(x)-2\cos(x) olarak elde edilir. Bu iki değerin birbirine bölünmesiyle −2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \tan(x) sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡(7π2−x)\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) ve sin⁡(x−5π)\sin(x - 5\pi) ifadelerini indirgeyiniz.
cos⁡(7π2−x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\sin(x) ve sin⁡(x−5π)=−sin⁡(x)\sin(x - 5\pi) = -\sin(x) olur. Buradan pay kısmı −sin⁡(x)+(−sin⁡(x))=−2sin⁡(x)-\sin(x) + (-\sin(x)) = -2\sin(x) olarak bulunur.
7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2}'dir. Açı üçüncü bölgede olduğundan kosinüsün işareti negatif olur ve π2\frac{\pi}{2}'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür. x−5πx - 5\pi açısı ise esas ölç��süne tamamlandığında x+πx + \pi olur; bu üçüncü bölgede sinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.
2
Payda kısmındaki sin⁡(11π2+x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) ve cos⁡(3π−x)\cos(3\pi - x) ifadelerini indirgeyiniz.
sin⁡(11π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(3π−x)=−cos⁡(x)\cos(3\pi - x) = -\cos(x) olur. Buradan payda kısmı −cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) olarak bulunur.
11π2\frac{11\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2}'dir. Açı dördüncü bölgede olduğundan sinüsün işareti negatif olur ve π2\frac{\pi}{2}'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür. 3π−x3\pi - x açısının esas ölçüsü π−x\pi - x olup ikinci bölgede kosinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.
3
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadeyi sadeleştiriniz.
−2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) olarak elde edilir.
Pay ve paydadaki −2-2 katsayıları sadeleşir. Kalan sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} oranı tanım gereği tanjant fonksiyonuna eşittir.

Key Concept

Trigonometrik oranların π\pi ve π2\frac{\pi}{2}'nin katları kullanılarak bölgelere göre indirgenmesi ve bu işlemlerde işaret ve isim değişikliği kurallarının uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic