Examkin

Question

Difficulty: HardBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için gg ve hh fonksiyonları
g(x)=∫(x2−4)⋅f′(x) dxg(x) = \int (x^2 - 4) \cdot f'(x) \, dx
h(x)=∫2x⋅f(x) dxh(x) = \int 2x \cdot f(x) \, dx
biçiminde tanımlanıyor.

f(3)=3f(3) = 3, f(1)=5f(1) = 5 ve g(3)+h(3)=22g(3) + h(3) = 22
olduğuna göre, g(1)+h(1)g(1) + h(1) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -15
  2. B
    -22
  3. -8Answer
  4. D
    7
  5. E
    -2

Answer

-8
Doğru cevap -8 olmalıdır. g(x) ve h(x) integrallerinin toplamı alındığında, integralin içi çarpımın türevi kuralı gereğince (x^2 - 4)f(x) ifadesinin türevi olur. Belirsiz integral alındığında bir integral sabiti C eklenir. Verilen f(3) = 3 ve g(3) + h(3) = 22 değerleri kullanılarak C = 7 bulunur. Son olarak x = 1 için f(1) = 5 değeri yerine yazıldığında toplam -8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının toplamını tek bir integral altında birleştirin.
g(x) + h(x) = \int [ (x^2 - 4) \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ] \, dx
Belirsiz integrallerin toplama özelliği kullanılarak iki ayrı integral tek bir çatı altında toplanır.
2
İntegralin içindeki ifadenin türevin çarpım kuralı açılımı olduğunu fark edin.
\frac{d}{dx} [ (x^2 - 4) \cdot f(x) ] = (x^2 - 4) \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x)
Çarpımın türevi kuralına göre, ifadenin (x^2 - 4)f(x) fonksiyonunun türevi olduğu görülür.
3
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integralini integral sabiti C ekleyerek yazın.
g(x) + h(x) = (x^2 - 4) \cdot f(x) + C
Bir fonksiyonun türevinin belirsiz integrali, fonksiyonun kendisine bir sabit eklenerek elde edilir.
4
x = 3 değerini yerleştirerek integral sabiti C'yi hesaplayın.
22 = (3^2 - 4) \cdot f(3) + C \implies 22 = 5 \cdot 3 + C \implies C = 7
Soruda verilen g(3) + h(3) = 22 ve f(3) = 3 değerlerini denklemde yerine koyarak C sabiti bulunur.
5
x = 1 değerini ve C = 7 sabitini kullanarak g(1) + h(1) değerini bulun.
g(1) + h(1) = (1^2 - 4) \cdot f(1) + 7 = -3 \cdot 5 + 7 = -8
İstenen g(1) + h(1) değerini elde etmek için formülde x = 1 ve f(1) = 5 değerleri yazılır.

Key Concept

Belirsiz integral tanımı ve integral alma kuralları ile türevin çarpım kuralının tersinin uygulanması.

Alternative Method

Alternatif olarak, integralin içindeki ifadelerin toplamının türevin çarpım kuralı açılımı olduğu doğrudan fark edilip d[(x^2 - 4)f(x)] = (x^2 - 4)f'(x)dx + 2xf(x)dx şeklinde yazılabilir ve her iki tarafın integrali alınarak sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic