Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡13(x2−2x)≥log⁡13(x+4)\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{3}}(x + 4)

eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?
  1. 6Answer
  2. B
    7
  3. C
    8
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 6'dır.
Doğru yanıt 6 olan seçenektir. Taban basit kesir (1/31/3) olduğundan logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir ve x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 elde edilir. Buradan x'in [−1,4][-1, 4] aralığında olması gerektiği bulunur. Ancak logaritmanın tanımlı olması için içlerinin pozitif olması koşuluyla kesişim alındığında geçerli tam sayılar yalnızca −1-1, 33 ve 44 olur. Bu değerlerin toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi kuralları uygulanır.
x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 olmalıdır. İlk eşitsizlikten x<0x < 0 veya x>2x > 2 elde edilir. İkinci eşitsizlikten x>−4x > -4 elde edilir. İki koşulun kesişimi alındığında tanım kümesi T=(−4,0)∪(2,∞)T = (-4, 0) \cup (2, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın içinin her zaman sıfırdan büyük olması gerektiğinden, çözüm kümesindeki elemanların bu aralıkta yer alması zorunludur.
2
Logaritma tabanına göre eşitsizlik çözülür.
Taban 13\frac{1}{3} (00 ile 11 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4.
Taban basit kesir olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır, bu yüzden eşitsizliğin yönü tersine döner.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik düzenlenerek çözülür.
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 elde edilir. Buradan kökler −1-1 ve 44 olup, eşitsizliğin çözüm aralığı [−1,4][-1, 4] olarak bulunur.
Cebirsel eşitsizliği sağlayan aralığı belirlemek için ikinci dereceden eşitsizlik çözümü yapılır.
4
Cebirsel çözüm aralığı ile logaritmanın tanım kümesi kesiştirilir.
[−1,4][-1, 4] aralığı ile (−4,0)∪(2,∞)(-4, 0) \cup (2, \infty) kümesinin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] kümesini verir.
Hem cebirsel eşitsizliği sağlayan hem de logaritmayı tanımlı kılan ortak x değerlerini bulmak için kesişim al��nır.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı −1-1 ve (2,4](2, 4] aralığındaki tam sayılar 3,43, 4 olup, toplamları −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Alternative Method

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için seçeneklerdeki toplamları elde edebilecek olası küçük tam sayılar doğrudan eşitsizlikte ve tanım kümelerinde tek tek yerine yazılarak da kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem zaman kaybettirebilir ve genel çözüm kümesini vermez.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic