Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri

x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(2x)=725\cos(2x) = \frac{7}{25}

olduğuna göre, tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. -3Answer
  2. B
    −13-\frac{1}{3}
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. D
    3
  5. E
    −43-\frac{4}{3}

Answer

İstenen değer -3 olarak bulunur.
Verilen aralıkta kosinüsün yarım açı formülü kullanılarak cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} ve buna bağlı olarak sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur. tan⁡(x2)=sin⁡x1+cos⁡x\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} formülü uygulandığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre, cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 yarım açı formülünü kullanarak cos⁡x\cos x değerini bulmak.
725=2cos⁡2x−1  ⟹  2cos⁡2x=3225  ⟹  cos⁡2x=1625\frac{7}{25} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{32}{25} \implies \cos^2 x = \frac{16}{25} elde edilir. xx açısı 3. bölgede olduğundan cos⁡x\cos x değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur.
xx açısının trigonometrik oranlarını bularak yarım açı formülüne hazırlık yapmak.
2
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini kullanarak sin⁡x\sin x değerini hesaplamak.
sin⁡2x=1−(−45)2=1−1625=925\sin^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} olur. xx açısı 3. bölgede olduğundan sin⁡x\sin x değeri de negatif olmalıdır. Buradan sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur.
tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) değerini veren formülde kullanmak üzere sinüs değerini elde etmek.
3
tan⁡(x2)=sin⁡x1+cos⁡x\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplamak.
tan⁡(x2)=−351−45=−3515=−3\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{-\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = -3 bulunur.
Yarım açı formülü ile doğrudan sonuca ulaşmak.

Key Concept

Kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının yarım açı formülleri ile açıların bölgelerine göre işaret tayini.

Alternative Method

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−3/5−4/5=34\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} bulunur. tan⁡x=2tan⁡(x/2)1−tan⁡2(x/2)\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1 - \tan^2(x/2)} formülünde tan⁡(x/2)=t\tan(x/2) = t denirse, 2t1−t2=34  ⟹  3t2+8t−3=0  ⟹  (3t−1)(t+3)=0\frac{2t}{1-t^2} = \frac{3}{4} \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t-1)(t+3) = 0 denkleminden t=13t = \frac{1}{3} veya t=−3t = -3 elde edilir. x2\frac{x}{2} açısı ikinci bölgede olduğundan tanjant negatif olmalıdır, bu nedenle tan⁡(x2)=−3\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic