x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, \tan x + \cot x = \frac{5}{2} olduğuna… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\tan x + \cot x = \frac{5}{2}

olduğuna göre,

\cos(2x)

ifadesinin değeri kaçtır?

A
$-\frac{3}{5}$
$\frac{3}{5}$ Answer
C
$\frac{4}{5}$
D
$-\frac{4}{5}$
E
$\frac{7}{25}$

Answer

İfadenin doğru değeri 3/5'tir.

Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen tanım aralığında tanjant değerinin 1/2 olduğunu belirledikten sonra yarım açı formülünün doğru şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

Verilen denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edelim.

\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0

denklemi elde edilir.

Tanjant değerini bulmak için denklemde cot(x) yerine 1/tan(x) yazılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilmiştir.

Elde edilen denklemi çarpanlarına ayıralım ve tanım aralığına uygun olan tanjant değerini belirleyelim.

(2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2} \text{ veya } \tan x = 2

bulunur.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında

0 < \tan x < 1

olduğundan, uygun değer

\tan x = \frac{1}{2}

olarak seçilir.

Açının bulunduğu bölge, tanjant fonksiyonunun alabileceği değer aralığını belirler.

Tanjant değeri yardımıyla kosinüs yarım açı formülünü uygulayalım.

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}

elde edilir.

Kosinüsün yarım açı değeri, tanjant cinsinden yazılan özdeşlik kullanılarak doğrudan hesaplanmıştır.

Key Concept

Tanjant yardımıyla kosinüs yarım açı değerlerinin hesaplanması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic