Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu çift fonksiyon olup her xx gerçel sayısı için
f(x+4)=f(x)f(x+4) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(2x) dx=3\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = 3
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
olduğuna göre,
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    10
  5. E
    16

Answer

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru cevap olan 8 değeri; öncelikle u=2xu = 2x dönüşümüyle ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerinin bulunması, ardından çiftlik ve periyot özellikleri yardımıyla [0,4][0,4] aralığındaki simetrik dağılımın ve tam periyot integralinin (12) hesaplanması, son olarak t=3−2xt = 3-2x dönüşümüyle elde edilen 12∫17f(t) dt\frac{1}{2} \int_{1}^{7} f(t) \, dt integralinde periyot kaydırma yapılarak sonucun 12×(12+4)=8\frac{1}{2} \times (12 + 4) = 8 olarak bulunmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk verilen integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} dönüşümü yapılır. Sınırlar x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 olarak güncellenir. Buradan, ∫01f(2x) dx=∫02f(u)du2=3  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 elde edilir.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
2
Fonksiyonun çiftlik ve periyodiklik özelliklerini kullanarak alt aralıklardaki integralleri hesaplayalım.
ff fonksiyonu çift ve periyodu 4 olduğundan, f(2−x)=f(2+x)f(2-x) = f(2+x) simetrisi mevcuttur. Bu durum ∫02f(x) dx=∫24f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 olmasını gerektirir. Buradan tüm periyot boyunca integral ∫04f(x) dx=6+6=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 6 + 6 = 12 olur. ∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4 verildiğinden, ∫12f(x) dx=6−4=2\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6 - 4 = 2 olur. Simetriden dolayı ∫23f(x) dx=2\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 2 ve ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bulunur.
[0,4][0, 4] periyodu içerisindeki farklı alt aralıkların integral değerlerini belirleyip hedef integralde kullanabilmek için.
3
Sorulan integralde değişken değiştirme uygulanır ve sınırlar güncellenir.
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx integralinde t=3−2x  ⟹  dt=−2 dx  ⟹  dx=−dt2t = 3-2x \implies dt = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dt}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  t=−1x = 2 \implies t = -1 ve x=5  ⟹  t=−7x = 5 \implies t = -7 olur. İntegral: ∫−1−7f(t)(−dt2)=12∫−7−1f(t) dt\int_{-1}^{-7} f(t) \left(-\frac{dt}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{-7}^{-1} f(t) \, dt şeklini alır.
İntegrali ff fonksiyonunun tanım kümesindeki değişkenine indirgemek için.
4
Periyodiklik özelliğini kullanarak sınırları pozitif aralığa taşıyalım ve nihai değeri hesaplayalım.
Periyot 4 olduğundan sınırları 8 birim sağa kaydırabiliriz: ∫−7−1f(t) dt=∫17f(t) dt\int_{-7}^{-1} f(t) \, dt = \int_{1}^{7} f(t) \, dt olur. Bu integral ∫15f(t) dt+∫57f(t) dt\int_{1}^{5} f(t) \, dt + \int_{5}^{7} f(t) \, dt olarak ayrılır. [1,5][1, 5] aralığı tam bir periyot olduğundan integral değeri 12'dir. [5,7][5, 7] aralığı ise periyodiklikten dolayı [1,3][1, 3] aralığına denktir: ∫57f(t) dt=∫13f(t) dt=∫12f(t) dt+∫23f(t) dt=2+2=4\int_{5}^{7} f(t) \, dt = \int_{1}^{3} f(t) \, dt = \int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{2}^{3} f(t) \, dt = 2 + 2 = 4 olur. Toplam integral 12+4=1612 + 4 = 16 olup, sonuç 12×16=8\frac{1}{2} \times 16 = 8 bulunur.
Sınırları bilinen ve tanımlı aralıklara indirgeyerek sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralin değişken değiştirme, periyodiklik ve tek/çift fonksiyon simetrisi özelliklerinin birlikte kullanımı.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic