Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=12\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 12
ve
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−10f(2x) dx\int_{-1}^{0} f(2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Answer: -2

Answer

İstenen integralin değeri -2'dir.
Verilen integral eşitliklerinde uygun değişken değiştirmeler yapılarak integral sınırları doğru biçimde güncellenmiş ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak aranan integralin değeri -2 olarak doğru şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8 integralinde değişken değiştirme yapılması.
∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16
u=2x−2u = 2x-2 dönüşümü yapıldığında du=2 dxdu = 2 \, dx ve buradan dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=0u=0 ve x=3x=3 için u=4u=4 olarak güncellenir. Böylece ∫13f(2x−2) dx=12∫04f(u) du=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 8 elde edilir.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinden yararlanılması.
∫−20f(x) dx=−4\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = -4
∫−24f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫04f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx eşitliği yazılabilir. Değerler yerine konulduğunda 12=∫−20f(x) dx+1612 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 denklemi elde edilir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonucun hesaplanması.
∫−10f(2x) dx=−2\int_{-1}^{0} f(2x) \, dx = -2
v=2xv = 2x dönüşümü ile dv=2 dxdv = 2 \, dx ve dx=dv2dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar x=−1x=-1 için v=−2v=-2 ve x=0x=0 için v=0v=0 olur. Bu durumda integral 12∫−20f(v) dv=12⋅(−4)=−2\frac{1}{2} \int_{-2}^{0} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot (-4) = -2 değerini alır.

Key Concept

Belirli integralde sınırların güncellenmesiyle değişken değiştirme yöntemi ve aralık bölme özelliği
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic