Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bir xx dar açısı 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıda tanımlanan trigonometrik değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1d=cot⁡(7π2+x)d = \cot\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)
  2. 2a=sin⁡(900∘+x)a = \sin(900^\circ + x)
  3. 3b=cos⁡(13π2−x)b = \cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right)
  4. 4c=tan⁡(x−540∘)c = \tan(x - 540^\circ)

Answer

Doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
İfadeler en sade hallerine indirgendiğinde a=−sin⁡xa = -\sin x, b=sin⁡xb = \sin x, c=tan⁡xc = \tan x ve d=−tan⁡xd = -\tan x olarak bulunur. 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında tüm değerler pozitif olup sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x ilişkisi vardır. Buradan hareketle pozitif değerler için b<cb < c ve negatif değerler için eşitsizlik yön değiştireceğinden d<ad < a sıralaması bulunur. Negatif değerler pozitiflerden her zaman küçük olduğundan genel sıralama d<a<b<cd < a < b < c şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Derece cinsinden verilen aa ve cc ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.
900∘=2⋅360∘+180∘900^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ olduğundan esas ölçü 180∘180^\circ’dir. Buradan a=sin⁡(180∘+x)=−sin⁡xa = \sin(180^\circ + x) = -\sin x bulunur.
c=tan⁡(x−540∘)c = \tan(x - 540^\circ) ifadesinde tanjantın periyodu 180∘180^\circ (veya π\pi) olduğundan c=tan⁡(x−3⋅180∘)=tan⁡xc = \tan(x - 3 \cdot 180^\circ) = \tan x elde edilir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini veya periyodik karşılıklarını belirlemek gerekir.
2
Radyan cinsinden verilen bb ve dd ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.
13π2=6π+π2=3⋅2π+π2\frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan esas ölçü π2\frac{\pi}{2}’dir. Dolayısıyla b=cos⁡(π2−x)=sin⁡xb = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur.
7π2=2π+3π2\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} olduğundan esas ölçü 3π2\frac{3\pi}{2}’dir. Dolayısıyla d = \cot\left(\frac{3\pi}{2} + x \right) = -\tan x$ olur.
Radyan cinsinden açıların π2\frac{\pi}{2} veya 3π2\frac{3\pi}{2} katlarına göre indirgenmesinde fonksiyonların isim değiştireceğini ve açının bulunduğu bölgedeki işaretini belirlemek gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığındaki değerlerine göre sıralayınız.
0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında sin⁡x\sin x ve tan⁡x\tan x değerleri pozitiftir ve sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x eşitsizliği geçerlidir.
Pozitif olan terimler karşılaştırıldığında: 0<b<c0 < b < c yani 0<sin⁡x<tan⁡x0 < \sin x < \tan x elde edilir.
Negatif olan terimler karşılaştırıldığında: sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x eşitsizliği −1-1 ile çarpıldığında yön değiştirir ve −tan⁡x<−sin⁡x-\tan x < -\sin x yani d<a<0d < a < 0 elde edilir.
Tüm değerler birleştirildiğinde doğru sıralama d<a<b<cd < a < b < c olur.
Dar açılarda farklı trigonometrik fonksiyonların büyüklük ilişkilerini ve negatif sayıların sıralama kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılarda sıralama
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic