Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫24f(2x−1) dx=7\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7
∫13f(x+4) dx=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11(x3⋅f(x2+1)+f(2x+3)−f(x+4)) dx\int_{-1}^{1} \left( x^3 \cdot f(x^2 + 1) + f(2x + 3) - f(x + 4) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. −2-2Answer
  2. B
    44
  3. C
    1111
  4. D
    1414
  5. E
    −14-14

Answer

−2-2
Doğru cevap −2-2 değeridir. Belirli integralin lineerlik özelliği kullanılarak terimler ayrıştırıldığında, tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali sıfır olur. Diğer iki terimde değişken değiştirme yöntemi uygulanıp sınırlar güncellenerek verilen integral değerleriyle ilişkilendirildiğinde 6−8=−26 - 8 = -2 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak terimlerine ayıralım.
∫−11x3⋅f(x2+1) dx+∫−11f(2x+3) dx−∫−11f(x+4) dx\int_{-1}^{1} x^3 \cdot f(x^2 + 1) \, dx + \int_{-1}^{1} f(2x + 3) \, dx - \int_{-1}^{1} f(x + 4) \, dx
Her bir terimi ayrı ayrı inceleyerek daha basit integraller elde etmek için.
2
İlk terimi oluşturan fonksiyonun tek/çift olma durumunu inceleyelim.
g(−x)=(−x)3⋅f((−x)2+1)=−x3⋅f(x2+1)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 \cdot f((-x)^2 + 1) = -x^3 \cdot f(x^2 + 1) = -g(x) olduğundan fonksiyon tektir ve simetrik [−1,1][-1, 1] aralığındaki integralinin değeri 00'dır.
Simetrik sınırlarda tek fonksiyonların integralinin sıfıra eşit olması özelliğini kullanmak için.
3
İkinci terim için u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}. Sınırlar: x=−1  ⟹  u=1x = -1 \implies u = 1 ve x=1  ⟹  u=5x = 1 \implies u = 5. İntegral değeri: 12∫15f(u) du=12⋅12=6\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncelleyerek verilen ilk eşitliği kullanabilmek için.
4
Üçüncü terim için v=x+4v = x + 4 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx. Sınırlar: x=−1  ⟹  v=3x = -1 \implies v = 3 ve x=1  ⟹  v=5x = 1 \implies v = 5. İntegral değeri: ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden yazıp aralık analizi yapabilmek için.
5
Verilen diğer iki integral eşitliğinden ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini elde edelim.
∫24f(2x−1) dx=7  ⟹  ∫37f(w) dw=14\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7 \implies \int_{3}^{7} f(w) \, dw = 14 ve ∫13f(x+4) dx=6  ⟹  ∫57f(t) dt=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6 \implies \int_{5}^{7} f(t) \, dt = 6 bulunur. Aralık bölme özelliğinden: ∫37f(x) dx=∫35f(x) dx+∫57f(x) dx  ⟹  14=∫35f(x) dx+6  ⟹  ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{7} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{7} f(x) \, dx \implies 14 = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + 6 \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 elde edilir.
Değişken değiştirme ve integralin aralık bölme özelliklerini birleştirerek istenen bilinmeyen aralıktaki integrali bulmak için.
6
Bulunan tüm terimlerin değerlerini ana ifadede birleştirelim.
0+6−8=−20 + 6 - 8 = -2
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralin değişken değiştirme, simetri (tek/çift fonksiyonlar) ve aralık bölme özellikleri.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic