Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

log⁡12(x2−3x)≥−2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) \geq -2 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 33'tür.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur.
Logaritmik eşitsizliğin çözümü sürecinde hem tabanın basit kesir olması nedeniyle yön değiştirme kuralı hem de logaritmanın tanım kümesi kuralı doğru uygulanmış ve elde edilen tam sayıların toplamının 33 olduğu kesin olarak gösterilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için gereken tanım kümesi belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3
Logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması zorunludur.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür. Taban 0<12<10 < \frac{1}{2} < 1 (basit kesir) olduğundan eşitsizlik yönü tersine çevrilir.
x2−3x≤(12)−2  ⟹  x2−3x≤4x^2 - 3x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x^2 - 3x \leq 4
Taban 11'den küçük olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlarına ayrılarak çözüm kümesi bulunur.
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x-4)(x+1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Kökler −1-1 ve 44 olup, başkatsayı pozitif olduğundan bu iki kök arasında ifade negatif veya sıfırdır.
4
Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimi alınarak gerçek çözüm kümesi oluşturulur.
([−1,4])∩((−∞,0)∪(3,∞))  ⟹  [−1,0)∪(3,4]([-1, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \implies [-1, 0) \cup (3, 4]
Çözüm kümesindeki tüm elemanların logaritma fonksiyonunu tanımlı kılması şarttır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.
Tam sayılar: −1-1 ve 44. Toplam: −1+4=3-1 + 4 = 3
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı −1-1 ve (3,4](3, 4] aralığındaki tam sayı 44'tür. Bu değerlerin toplamı 33 olur.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (f(x)>0f(x) > 0) çözüm kümesine dahil edilmesi.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic