Examkin

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

36 questions

All types36Multiple choice18Numeric18
Question 21Question →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3+a7=16a_3 + a_7 = 16
a2+a10=22a_2 + a_{10} = 22
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplam�� olan a1+a15a_1 + a_{15} değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplamı olan 34 değeri
Dizinin terimleri arasındaki indis özelliklerinden a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11 elde edilir. Buradan ortak fark r=a6−a5=3r = a_6 - a_5 = 3 bulunur. İlk terim a1=a5−4r=−4a_1 = a_5 - 4r = -4 ve 15. terim a15=a1+14r=38a_{15} = a_1 + 14r = 38 olup, bu iki terimin toplamı 34 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkilerini kullanarak a5a_5 ve a6a_6 terimlerini bulun.
a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (ap+aq=2a(p+q)/2a_p + a_q = 2a_{(p+q)/2}).
2
Ardışık iki terim arasındaki farkı hesaplayarak dizinin ortak farkını (rr) bulun.
r=a6−a5=11−8=3r = a_6 - a_5 = 11 - 8 = 3
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve ortak farkı verir.
3
Dizinin ilk terimini (a1a_1) ve 15. terimini (a15a_{15}) hesaplayıp toplayın.
a1=a5−4r=8−12=−4a_1 = a_5 - 4r = 8 - 12 = -4 ve a15=a6+9r=11+27=38a_{15} = a_6 + 9r = 11 + 27 = 38. Buradan a1+a15=−4+38=34a_1 + a_{15} = -4 + 38 = 34 elde edilir.
Genel terim formülü an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kullanılarak dizinin istenen terimleri bulunur ve toplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark ve genel terim bağıntısı.
Estimated Time:2m 0s
Question 22Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, r>0r > 0 olduğu bilinmektedir.

Bu dizinin terimleri arasında
a2+a5+a8=24a_2 + a_5 + a_8 = 24
a1⋅a9=−80a_1 \cdot a_9 = -80

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

Dizinin 12. teriminin değeri 29'dur.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5 bağıntısından a5=8a_5 = 8 bulunur. Ardından a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r terimleri yerine yazıldığında, (8−4r)(8+4r)=−80(8-4r)(8+4r) = -80 eşitliğiyle r2=9r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3'tür. Son adımda a12=a5+7r=8+21=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizideki terimlerin indis özelliklerini kullanarak a5a_5 terimini bulmak.
a5=8a_5 = 8
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir (a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5).
2
a1a_1 ve a9a_9 terimlerini a5a_5 ve rr cinsinden yazarak ortak fark rr değerini bulmak.
r=3r = 3
a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r ifadelerinin çarpımı 64−16r2=−8064 - 16r^2 = -80 denklemine yol açar. Buradan r2=9r^2 = 9 ve r>0r > 0 olduğu için r=3r = 3 elde edilir.
3
a12a_{12} terimini a5a_5 ve rr kullanarak hesaplamak.
a12=29a_{12} = 29
a12=a5+7ra_{12} = a_5 + 7r formülünde a5=8a_5 = 8 ve r=3r = 3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Aritmetik dizide terimler arası doğrusal ilişkiler, indis özellikleri ve ortak farkın bulunması.
Question 23Question →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a5+a15=20a_5 + a_{15} = 20
eşitliği verilmektedir.

f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 doğrusal fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,
f(a1)+f(a2)+⋯+f(a19)f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})
toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 494

Answer

İstenen toplamın değeri 494'tür.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşit olduğundan a1+a19=a5+a15=20a_1 + a_{19} = a_5 + a_{15} = 20 olur. Dizinin ilk 19 teriminin toplamı S19=192(a1+a19)=190S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + a_{19}) = 190 olarak bulunur. Fonksiyonel toplam 3⋅S19−19⋅43 \cdot S_{19} - 19 \cdot 4 şeklinde düzenlendiğinde 3⋅190−76=4943 \cdot 190 - 76 = 494 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
a1+a19a_1 + a_{19} toplamını bulmak için indis özelliğini uygulamak.
a1+a19=20a_1 + a_{19} = 20
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+19=5+15=201 + 19 = 5 + 15 = 20).
2
(an)(a_n) dizisinin ilk 19 teriminin toplamını (S19S_{19}) hesaplamak.
S19=190S_{19} = 190
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı form��lü Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) şeklindedir. Buradan S19=192⋅20=190S_{19} = \frac{19}{2} \cdot 20 = 190 elde edilir.
3
f(a1)+f(a2)+⋯+f(a19)f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19}) toplamını düzenleyip hesaplamak.
494
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 doğrusal fonksiyonunu her terim için yerine yazarak toplamı 3(a1+a2+⋯+a19)−19⋅43(a_1 + a_2 + \dots + a_{19}) - 19 \cdot 4 şeklinde yazarız. Bulunan değerler yerine koyulduğunda 3⋅190−76=4943 \cdot 190 - 76 = 494 elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ilk n terim toplamı ve doğrusal dönüşümlerin toplam üzerindeki etkisi.
Estimated Time:2m 0s
Question 24Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3+a15=18a_3 + a_{15} = 18
a7=5a_7 = 5

olduğuna göre, bu dizinin 12. terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Dizinin 12. terimi 15'tir.
Verilen a3+a15=18a_3 + a_{15} = 18 eşitliğinde indislerin aritmetik ortalaması olan 9. terim a9=9a_9 = 9 olarak bulunur. Daha sonra a7=5a_7 = 5 bilgisiyle ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir. Bu bilgiler doğrultusunda 12. terim a12=a9+3r=9+6=15a_{12} = a_9 + 3r = 9 + 6 = 15 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
a3+a15=18a_3 + a_{15} = 18 eşitliğinde indis özellikleri kullanılarak a9a_9 terimi bulunur.
a3+a15=2a9  ⟹  2a9=18  ⟹  a9=9a_3 + a_{15} = 2a_9 \implies 2a_9 = 18 \implies a_9 = 9
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı da eşittir (3+15=9+93 + 15 = 9 + 9).
2
a9=9a_9 = 9 ve verilen a7=5a_7 = 5 değerleri kullanılarak dizinin ortak farkı (rr) bulunur.
a9=a7+2r  ⟹  9=5+2r  ⟹  2r=4  ⟹  r=2a_9 = a_7 + 2r \implies 9 = 5 + 2r \implies 2r = 4 \implies r = 2
a9a_9 ve a7a_7 terimleri arasındaki indis farkı 2'dir.
3
a9=9a_9 = 9 terimi ve r=2r = 2 ortak farkı kullanılarak a12a_{12} terimi hesaplanır.
a12=a9+3r  ⟹  a12=9+3⋅2=9+6=15a_{12} = a_9 + 3r \implies a_{12} = 9 + 3 \cdot 2 = 9 + 6 = 15
a12a_{12} terimi, a9a_9 teriminden 3 adım (indis farkı 12−9=312 - 9 = 3) ileridedir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşitliği ve genel terim ilişkisi.
Question 25Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)f(x) doğrusal fonksiyonu için (an)(a_n) aritmetik dizisi, her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) şeklinde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı 33 ve
a6+a10=56a_6 + a_{10} = 56
olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Dizinin ilk terimi 7'dir.
Dizinin ilk terimi 7'dir. Çünkü doğrusal fonksiyonun eğimi (ortalama değişim hızı olan 3) dizinin ortak farkı rr'ye eşittir. Buradan a6+a10=2a8=56  ⟹  a8=28a_6 + a_{10} = 2a_8 = 56 \implies a_8 = 28 olur. a1=a8−7r=28−7(3)=7a_1 = a_8 - 7r = 28 - 7(3) = 7 olarak doğru bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyonun ortalama değişim hızından dizinin ortak farkını belirleme.
Dizinin ortak farkı r=3r = 3 olarak bulunur.
Gerçel sayılarda tanımlı bir doğrusal fonksiyonun herhangi bir aralıktaki ortalama de��işim hızı, o fonksiyonun eğimine eşittir. an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığından, bu doğrusal fonksiyonun eğimi aynı zamanda (an)(a_n) aritmetik dizisinin ardışık terimleri arasındaki farkı, yani ortak farkını (rr) verir.
2
Verilen terimler toplamını kullanarak dizinin 8. terimini (a8a_8) bulma.
a8=28a_8 = 28 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir veya simetrik terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katıdır. a6+a10=2a8a_6 + a_{10} = 2a_8 olduğundan, 2a8=56  ⟹  a8=282a_8 = 56 \implies a_8 = 28 elde edilir.
3
Ortak fark ve 8. terim yardımıyla ilk terimi (a1a_1) hesaplama.
a1=7a_1 = 7 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizide herhangi bir terim an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r formülüyle yazılabilir. Buna göre a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r eşitliğinde bilinenler yerine yazılırsa: 28=a1+7⋅3  ⟹  28=a1+21  ⟹  a1=728 = a_1 + 7 \cdot 3 \implies 28 = a_1 + 21 \implies a_1 = 7 bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde genel terimin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve indis özellikleri
Estimated Time:2m 0s
Question 26Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a12=28a_4 + a_{12} = 28
a1+a5+a9=24a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dizinin ortak farkı 2'dir.
Dizinin ortak farkının 2 olmasının nedeni; a1+a5+a9=24a_1 + a_5 + a_9 = 24 eşitliğinden a1+a9=2a5a_1 + a_9 = 2a_5 simetri kuralı kullanılarak a5=8a_5 = 8 değerine ulaşılması ve bu değerin a4+a12=2a5+6r=28a_4 + a_{12} = 2a_5 + 6r = 28 denklemine yazılmasıyla 6r=12  ⟹  r=26r = 12 \implies r = 2 sonucunun elde edilmesidir.

Step-by-Step Solution

1
a1+a5+a9=24a_1 + a_5 + a_9 = 24 eşitliğinde aritmetik ortalama özelliğini kullanarak a5a_5 teriminin değerini belirlemek
a1+a9=2a5  ⟹  3a5=24  ⟹  a5=8a_1 + a_9 = 2a_5 \implies 3a_5 = 24 \implies a_5 = 8
Bir aritmetik dizide belirli bir terime eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı, ortadaki terimin iki katına eşittir.
2
a4+a12=28a_4 + a_{12} = 28 eşitliğindeki terimleri a5a_5 ve ortak fark olan rr cinsinden ifade etmek
a4=a5−ra_4 = a_5 - r ve a12=a5+7r  ⟹  (a5−r)+(a5+7r)=2a5+6r=28a_{12} = a_5 + 7r \implies (a_5 - r) + (a_5 + 7r) = 2a_5 + 6r = 28
Tüm bilinmeyen terimleri tek bir terim (a5a_5) ve ortak fark (rr) cinsinden yazarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.
3
a5=8a_5 = 8 değerini denklemde yerine yazarak rr ortak farkını bulmak
2(8)+6r=28  ⟹  16+6r=28  ⟹  6r=12  ⟹  r=22(8) + 6r = 28 \implies 16 + 6r = 28 \implies 6r = 12 \implies r = 2
Bilinmeyen a5a_5 değerini yerleştirip birinci dereceden tek bilinmeyenli denklemi çözmek.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, terimler arası aritmetik ortalama ilişkisi ve genel terim yazımı
Question 27Question →
Terimleri tam sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3+a16=a7+aka_3 + a_{16} = a_7 + a_k
a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin ortak farkı r=2r = 2 olduğuna g��re, aka_k terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

23
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a3+a16=a7+aka_3 + a_{16} = a_7 + a_k eşitliğinden 3+16=7+k  ⟹  k=123 + 16 = 7 + k \implies k = 12 bulunur. Dolayısıyla aranan terim a12a_{12}'dir. a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30 eşitliğinde a12=a4+8ra_{12} = a_4 + 8r bağıntısı ve r=2r = 2 değeri yerine yazıldığında a12=a4+16a_{12} = a_4 + 16 elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde a4=7a_4 = 7 ve a12=23a_{12} = 23 bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 23'tür.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerde indislerin toplamı eşit olan terimlerin toplamının da eşit olduğu (ap+aq=as+at  ⟺  p+q=s+ta_p + a_q = a_s + a_t \iff p + q = s + t) özelliğini kullanarak kk değerini bulmak.
3+16=7+k  ⟹  19=7+k  ⟹  k=123 + 16 = 7 + k \implies 19 = 7 + k \implies k = 12 elde edilir.
Soru kökündeki birinci eşitlikte verilmeyen terimin indisi olan kk değerini belirlemek için.
2
İkinci eşitlik olan a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30 ifadesinde a12a_{12} terimini a4a_4 ve ortak fark r=2r = 2 cinsinden yazmak.
a12=a4+(12−4)r  ⟹  a12=a4+8(2)  ⟹  a12=a4+16a_{12} = a_4 + (12 - 4)r \implies a_{12} = a_4 + 8(2) \implies a_{12} = a_4 + 16 bulunur.
İki bilinmeyenli eşitliği tek bilinmeyene indirgemek için.
3
Elde edilen a12=a4+16a_{12} = a_4 + 16 ifadesini a4+a12=30a_4 + a_{12} = 30 denkleminde yerine yazarak a4a_4 terimini bulmak ve ardından a12a_{12} değerini hesaplamak.
a4+(a4+16)=30  ⟹  2a4=14  ⟹  a4=7a_4 + (a_4 + 16) = 30 \implies 2a_4 = 14 \implies a_4 = 7 olur. Buradan a12=7+16=23a_{12} = 7 + 16 = 23 bulunur. k=12k = 12 olduğundan ak=a12=23a_k = a_{12} = 23 elde edilir.
İstenen aka_k (yani a12a_{12}) teriminin sayısal değerine ulaşmak için.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı.
Question 28Question →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a82−a42=96a_8^2 - a_4^2 = 96
a2+a10=12a_2 + a_{10} = 12
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 5. terimi (a5a_5) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Bu aritmetik dizinin 5. terimi (a5a_5) 4 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerin indis özellikleri kullanıldığında, a2+a10=2a6=12a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 eşitliğinden a6=6a_6 = 6 bulunur. Ardından a8a_8 ve a4a_4 terimleri a6a_6 ve ortak fark rr cinsinden a8=6+2ra_8 = 6+2r, a4=6−2ra_4 = 6-2r olarak yazılıp kareler farkı denkleminde yerine koyulduğunda, (6+2r)2−(6−2r)2=96  ⟹  48r=96  ⟹  r=2(6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2 elde edilir. İstenen 5. terim ise a5=a6−r=6−2=4a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4 olarak doğru hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması özelliğini kullanarak a6a_6 terimini hesaplamak.
a2+a10=2a6=12  ⟹  a6=6a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 \implies a_6 = 6 elde edilir.
2+10=6+62 + 10 = 6 + 6 olduğundan indislerin ortalaması bize ortadaki terimi verir.
2
a8a_8 ve a4a_4 terimlerini a6a_6 ve ortak fark rr türünden ifade etmek.
a8=a6+2r=6+2ra_8 = a_6 + 2r = 6 + 2r ve a4=a6−2r=6−2ra_4 = a_6 - 2r = 6 - 2r şeklinde yazılır.
Aritmetik dizide her terim an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kuralı ile ba��ka bir terim cinsinden yazılabilir.
3
Elde edilen ifadeleri kareler farkı denkleminde yerine yazıp ortak fark olan rr değerini bulmak.
a82−a42=(6+2r)2−(6−2r)2=96  ⟹  48r=96  ⟹  r=2a_8^2 - a_4^2 = (6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2 bulunur.
Tam kare ifadeler açılıp farkı alındığında sadeleşerek 48r48r ifadesine eşit olur.
4
Bulunan a6a_6 ve rr değerlerini kullanarak istenen a5a_5 terimini hesaplamak.
a5=a6−r=6−2=4a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4 elde edilir.
Dizinin 5. terimi, 6. teriminden bir ortak fark (rr) eksiktir.

Key Concept

Aritmetik Dizilerde Terim Özellikleri ve İndis İlişkileri
Question 29Question →
Artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a4+a16=40a_4 + a_{16} = 40
a7⋅a13=364a_7 \cdot a_{13} = 364
eşitlikleri verilmektedir.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)f(x) doğrusal fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için f(n)=anf(n) = a_n eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(8)f(8) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Doğrusal fonksiyonun 8 noktasındaki değeri olan 16'dır.
Soruda verilen aritmetik dizi özelliklerinden yararlanılarak a10=20a_{10} = 20 bulunur. Ardından a7a_7 ve a13a_{13} terimleri a10a_{10} cinsinden yazılarak ortak farkın karesi r2=4r^2 = 4 elde edilir. Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark r=2r = 2 olarak seçilir. Dizinin genel terimi an=2na_n = 2n olarak bulunur. Her nn pozitif tam sayısı için f(n)=anf(n) = a_n sağlandığından doğrusal fonksiyon f(x)=2xf(x) = 2x olur. Buradan f(8)=16f(8) = 16 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi bulunuz.
a4+a16=2⋅a10=40  ⟹  a10=20a_4 + a_{16} = 2 \cdot a_{10} = 40 \implies a_{10} = 20
Aritmetik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (4+16=2⋅104 + 16 = 2 \cdot 10).
2
a7a_7 ve a13a_{13} terimlerini a10a_{10} ve ortak fark rr cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.
a7=20−3ra_7 = 20 - 3r ve a13=20+3ra_{13} = 20 + 3r yazılır. Çarpımları: (20−3r)(20+3r)=400−9r2=364  ⟹  9r2=36  ⟹  r2=4(20 - 3r)(20 + 3r) = 400 - 9r^2 = 364 \implies 9r^2 = 36 \implies r^2 = 4. Dizi artan olduğu için r>0  ⟹  r=2r > 0 \implies r = 2 bulunur.
a7a_7 ve a13a_{13} terimleri a10a_{10} terimine göre simetrik konumdadır (10−7=13−10=310 - 7 = 13 - 10 = 3). Aritmetik dizinin artan olması ortak farkın pozitif olmasını gerektirir.
3
Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon ilişkisini kurarak istenen değeri hesaplayınız.
an=a10+(n−10)r  ⟹  an=20+2(n−10)=2na_n = a_{10} + (n - 10)r \implies a_n = 20 + 2(n - 10) = 2n olur. f(n)=anf(n) = a_n olduğundan f(x)=2xf(x) = 2x doğrusal fonksiyonu elde edilir. Buradan f(8)=2⋅8=16f(8) = 2 \cdot 8 = 16 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terimi, derecesi 1 olan (doğrusal) bir fonksiyondur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve doğrusal fonksiyon ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Question 30Question →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=36a_4 + a_{10} + a_{16} = 36
a7+a9=a5+14a_7 + a_9 = a_5 + 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri 32'dir.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak önce a10=12a_{10} = 12 bulunur, ardından ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir ve a20=a10+10ra_{20} = a_{10} + 10r formülüyle 3232 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak a_{10} terimini bulma
a_{10} = 12
Aritmetik dizilerde indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir. 4+16=2⋅104 + 16 = 2 \cdot 10 olduğundan a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} yazılabilir. Denklemde yerine yazıldığında 3a10=36  ⟹  a10=123a_{10} = 36 \implies a_{10} = 12 bulunur.
2
Dizinin terimlerini ortak fark (r) cinsinden ifade edip r değerini bulma
r = 2
a5=a10−5r=12−5ra_5 = a_{10} - 5r = 12 - 5r, a7=a10−3r=12−3ra_7 = a_{10} - 3r = 12 - 3r ve a9=a10−r=12−ra_9 = a_{10} - r = 12 - r eşitlikleri a7+a9=a5+14a_7 + a_9 = a_5 + 14 denklemine yazılır. Buradan 24−4r=26−5r  ⟹  r=224 - 4r = 26 - 5r \implies r = 2 elde edilir.
3
a_{20} terimini hesaplama
a_{20} = 32
a20=a10+10ra_{20} = a_{10} + 10r bağıntısı kullanılarak a20=12+10⋅2=32a_{20} = 12 + 10 \cdot 2 = 32 bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Question 31Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=mx+df(x) = mx + d doğrusal fonksiyonu veriliyor. Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri için her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) eşitliği sağlanmaktadır.

f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16

olduğuna göre, a12a_{12} değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

29
Ortak farkı pozitif olan aritmetik dizinin ortak farkı r=3r = 3 ve beşinci terimi a5=8a_5 = 8 olarak hesaplandığında, on ikinci terim a5+7r=8+21=29a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 şeklinde doğru olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyon ile aritmetik dizi arasındaki ilişkiyi kurma.
f(x)=mx+df(x) = mx + d fonksiyonu için an=f(n)=mn+da_n = f(n) = mn + d olduğundan, dizinin ortak farkı r=mr = m olur.
Doğrusal fonksiyonun n değişkenine göre değişim oranı sabittir ve bu oran aritmetik dizinin ortak farkına eşittir.
2
f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18 eşitliğini kullanarak ortak farkı (rr) bulma.
f(a3)−f(a1)=m(a3−a1)=r(2r)=2r2=18  ⟹  r2=9f(a_3) - f(a_1) = m(a_3 - a_1) = r(2r) = 2r^2 = 18 \implies r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3 bulunur.
Aritmetik dizide terimler arasındaki fark indisler farkının ortak fark ile çarpımına eşittir (a3−a1=2ra_3 - a_1 = 2r).
3
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16 eşitliğinden yararlanarak beşinci terimi bulma.
a2+a8=2a5=16  ⟹  a5=8a_2 + a_8 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 bulunur.
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
4
Bulunan değerler yardımıyla a12a_{12} terimini hesaplama.
a12=a5+7r=8+7(3)=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 7(3) = 29 bulunur.
Bir terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim özelliği kullanılarak istenen terim elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde doğrusal fonksiyon ilişkisi, ortak fark ve indis özellikleri.
Question 32Question →
Ortak farkı sıfırdan farklı ve terimleri sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen oran 2'dir.
Verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 denkleminde her terim a1a_1 ve rr cinsinden yazıldığında, denklemin sol tarafı a12+5a1r+6r2a_1^2 + 5a_1r + 6r^2, sağ tarafı ise a12+7a1ra_1^2 + 7a_1r olur. Buradan a12a_1^2 terimleri sadeleşir ve 6r2=2a1r6r^2 = 2a_1r kalır. Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğu için bu eşitlikten a1=3ra_1 = 3r bulunur. İstenen a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı ise a1+5ra1+r\frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} şeklindedir. Burada a1a_1 yerine 3r3r yazılırsa oran 8r4r=2\frac{8r}{4r} = 2 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin terimlerini birinci terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden yazın.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r ve a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r olarak ifade edilir.
Tüm bilinmeyen terimleri aynı iki temel değişken cinsinden ifade ederek ortak bir denklem çözümü elde etmek.
2
Bu terimleri verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 eşitliğinde yerine yazın ve denklemi sadeleştirin.
(a1+2r)(a1+3r)=a1(a1+7r)⇒a12+5a1r+6r2=a12+7a1r⇒6r2=2a1r(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = a_1(a_1 + 7r) \Rightarrow a_1^2 + 5a_1r + 6r^2 = a_1^2 + 7a_1r \Rightarrow 6r^2 = 2a_1r elde edilir.
Terimlerin çarpımını dağıtarak benzer terimleri sadeleştirmek ve sade bir bağıntıya ulaşmak.
3
Ortak farkın sıfırdan farklı olduğunu kullanarak birinci terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulun.
a1=3ra_1 = 3r olarak bulunur.
r≠0r \neq 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafını 2r2r ile bölmekte bir sakınca yoktur.
4
Bulunan a1=3ra_1 = 3r eşitliğini kullanarak a6a2\frac{a_6}{a_2} oranını hesaplayın.
a6a2=a1+5ra1+r=3r+5r3r+r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} = \frac{3r + 5r}{3r + r} = 2 bulunur.
İstenen oranı tek bir değişken cinsinden yazıp sadeleştirerek sayısal sonuca ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizinin terimlerinin genel terim formülü kullanılarak cebirsel olarak ifade edilmesi ve çözülmesi

Alternative Method

Alternatif olarak, tüm terimleri a2a_2 ve rr cinsinden yazabiliriz. a1=a2−ra_1 = a_2 - r, a3=a2+ra_3 = a_2 + r, a4=a2+2ra_4 = a_2 + 2r ve a8=a2+6ra_8 = a_2 + 6r ifadeleri denklemde yerine yazıldığında (a2+r)(a2+2r)=(a2−r)(a2+6r)⇒a22+3a2r+2r2=a22+5a2r−6r2⇒8r2=2a2r(a_2+r)(a_2+2r) = (a_2-r)(a_2+6r) \Rightarrow a_2^2 + 3a_2r + 2r^2 = a_2^2 + 5a_2r - 6r^2 \Rightarrow 8r^2 = 2a_2r olur. r≠0r \neq 0 olduğundan a2=4ra_2 = 4r bulunur. Bu durumda a6=a2+4r=8ra_6 = a_2 + 4r = 8r olacağından a6a2=8r4r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{8r}{4r} = 2 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 33Question →
Terimleri pozitif tam sayılardan oluşan ve ortak farkı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a1+a2+a3=15a_1 + a_2 + a_3 = 15
aa1=7a_{a_1} = 7
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

21
Dizinin ilk üç teriminin toplamından ortanca terim olan a2=5a_2 = 5 elde edilir. Ortak fark rr alındığında ilk terim a1=5−ra_1 = 5-r olur. İndis bağıntısı aa1=7a_{a_1} = 7 yerine yazıldığında (5−r)+(4−r)r=7(5-r) + (4-r)r = 7 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde r=1r=1 veya r=2r=2 bulunur. Ortak farkı 1'den büyük olduğu koşulundan dolayı r=2r=2 seçilir. İlk terim a1=3a_1 = 3 olur. Buradan dizinin 10. terimi a10=a1+9r=3+18=21a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 18 = 21 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizilerde ardışık terimlerin toplamı özelliğini kullanarak ikinci terimi belirleme.
a1+a2+a3=3a2=15  ⟹  a2=5a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2 = 15 \implies a_2 = 5 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir (a1+a3=2a2a_1 + a_3 = 2a_2).
2
Dizinin ortak farkını rr kabul edip ilk terimi rr cinsinden yazma ve indis bağıntısını kullanarak denklem kurma.
a1=a2−r=5−ra_1 = a_2 - r = 5 - r olur. Genel terim formülü olan an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r ifadesinde n=a1n = a_1 yazılarak aa1=a1+(a1−1)r=7  ⟹  (5−r)+(5−r−1)r=7a_{a_1} = a_1 + (a_1 - 1)r = 7 \implies (5-r) + (5-r-1)r = 7 denklemi elde edilir.
Verilen aa1=7a_{a_1} = 7 eşitliğinde terimlerin değerlerini tek bir değişkene bağlı olarak ifade etmek.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleyip çözerek ortak farkı ve ilk terimi belirleme.
5−r+(4−r)r=7  ⟹  −r2+3r+5=7  ⟹  r2−3r+2=0  ⟹  (r−1)(r−2)=05 - r + (4-r)r = 7 \implies -r^2 + 3r + 5 = 7 \implies r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2) = 0 olur. Buradan r=1r = 1 veya r=2r = 2 bulunur. Soruda ortak farkın 1'den büyük olduğu belirtildiği için r=2r = 2 alınır. İlk terim ise a1=5−2=3a_1 = 5 - 2 = 3 olarak bulunur.
Soru kökündeki kısıtlamaları uygulayarak dizinin parametrelerini netleştirmek.
4
Dizinin 10. terimini hesaplama.
a10=a1+9r=3+9(2)=21a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9(2) = 21 olarak hesaplanır.
Genel terim formülü kullanılarak hedef terime ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizide ardışık terimlerin ilişkisi, genel terim formülü ve indis özellikleri
Question 34Question →

Ortak farkı sıfırdan farklı ve ilk terimine eşit olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisi veriliyor.

x2−(a4+9)x+a2⋅a5=0x^2 - (a_4 + 9)x + a_2 \cdot a_5 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri bu dizinin a2a_2 ve a5a_5 terimleridir.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Sekizinci terim (a8a_8) 24'tür.
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı kuralından köklerin toplamı olan a2+a5a_2 + a_5 ifadesi, a4+9a_4 + 9'a eşit olur. Dizinin ilk terimi ortak farkına eşit olduğundan (a1=ra_1 = r), terimler a2=2ra_2 = 2r, a4=4ra_4 = 4r ve a5=5ra_5 = 5r şeklinde yazılır. Buradan 2r+5r=4r+9  ⟹  3r=9  ⟹  r=32r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3 elde edilir. İlk terim a1=3a_1 = 3 olup, sekizinci terim a8=a1+7r=3+21=24a_8 = a_1 + 7r = 3 + 21 = 24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimlerini ortak fark rr cinsinden ifade edin.
a1=ra_1 = r, a2=2ra_2 = 2r, a4=4ra_4 = 4r, a5=5ra_5 = 5r
İlk terimin ortak farka eşit olduğu (a1=ra_1 = r) belirtilmiştir.
2
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı bağıntısını yazın.
a2+a5=a4+9a_2 + a_5 = a_4 + 9
x2−Bx+C=0x^2 - Bx + C = 0 biçimindeki bir denklemde kökler toplamı BB katsayısına eşittir.
3
Elde edilen denklemde terimlerin rr cinsinden değerlerini yerine yazarak ortak farkı hesaplayın.
2r+5r=4r+9  ⟹  3r=9  ⟹  r=32r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3
Ortak farkı bulmak, dizinin tüm terimlerini belirlememizi sağlar.
4
Bulunan değerler yardımıyla dizinin sekizinci terimini hesaplayın.
a8=a1+7r=3+7⋅3=24a_8 = a_1 + 7r = 3 + 7 \cdot 3 = 24
Bir aritmetik dizide genel terim formülü an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r şeklindedir.

Key Concept

Aritmetik dizinin temel terim özellikleri ve ikinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (Vieta) ilişkisinin birlikte kullanımı.
Question 35Question →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında,
a5+a15=34a_5 + a_{15} = 34
a4+a8=18a_4 + a_8 = 18
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, bu dizinin 12. terimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

21
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a10=17a_{10} = 17 ve a6=9a_6 = 9 değerleri bulunur. Buradan dizinin ortak farkı r=2r = 2 olarak elde edilir. Son adımda a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r eşitliğinden 12. terim 21 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
a5+a15=34a_5 + a_{15} = 34 eşitliğini kullanarak dizinin 10. terimini bulunuz.
a10=17a_{10} = 17
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı eşittir. Dolayısıyla a5+a15=2a10a_5 + a_{15} = 2a_{10} yazılabilir.
2
a4+a8=18a_4 + a_8 = 18 eşitliğini kullanarak dizinin 6. terimini bulunuz.
a6=9a_6 = 9
Benzer şekilde indisler toplamı kuralından a4+a8=2a6a_4 + a_8 = 2a_6 yazılabilir.
3
Dizinin ortak farkı rr'yi bulunuz.
r=2r = 2
a10=a6+4ra_{10} = a_6 + 4r ilişkisinden 17=9+4r  ⟹  4r=8  ⟹  r=217 = 9 + 4r \implies 4r = 8 \implies r = 2 elde edilir.
4
Dizinin 12. terimini bulunuz.
a12=21a_{12} = 21
a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda a12=17+2(2)=21a_{12} = 17 + 2(2) = 21 bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizide terimler arası ilişkiler, indis özellikleri ve ortak fark hesabı
Estimated Time:2m 0s
Question 36Question →
Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisi için,
a6+a14=40a_6 + a_{14} = 40
a3⋅a17−a102=−196a_3 \cdot a_{17} - a_{10}^2 = -196
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 2'dir.
Dizinin terimlerinin indisleri arasındaki ilişkiden yararlanarak a10=20a_{10} = 20 bulunur. Ardından a3⋅a17a_3 \cdot a_{17} ifadesi a10a_{10} cinsinden yazılarak iki kare farkı özdeşliği yardımıyla ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir. Buradan a10=a1+9ra_{10} = a_1 + 9r bağıntısı kullanılarak ilk terim 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
a6+a14=40a_6 + a_{14} = 40 eşitliğini kullanarak a10a_{10} terimini hesaplayınız.
a10=20a_{10} = 20
Aritmetik dizilerde terim indislerinin toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir. 6+14=10+106 + 14 = 10 + 10 olduğundan a6+a14=2a10a_6 + a_{14} = 2a_{10} eşitliği sağlanır.
2
a3a_3 ve a17a_{17} terimlerini a10a_{10} ve ortak fark rr cinsinden yazarak verilen ikinci eşitlikten rr değerini bulunuz.
r=2r = 2
a3=a10−7ra_3 = a_{10} - 7r ve a17=a10+7ra_{17} = a_{10} + 7r çarpımı iki kare farkı özdeşliğinden a102−49r2a_{10}^2 - 49r^2 sonucunu verir. Eşitlikte yerine yazıldığında −49r2=−196  ⟹  r2=4-49r^2 = -196 \implies r^2 = 4 olur. Ortak fark pozitif olduğundan r=2r = 2 olarak alınır.
3
a10a_{10} ve rr değerlerini kullanarak dizinin ilk terimi olan a1a_1'i hesaplayınız.
a1=2a_1 = 2
a10=a1+9ra_{10} = a_1 + 9r genel terim ilişkisinde bilinen değerler yerine yazıldığında 20=a1+18  ⟹  a1=220 = a_1 + 18 \implies a_1 = 2 elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve ortak fark yardımıyla birbirleri cinsinden yazılması
PreviousPage 2 / 2
Aritmetik Dizi ve Özellikleri Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2 | Examkin