Examkin

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

67 questions

All types67Multiple choice33Numeric34
Question 61Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−bx2+1g(x) = x^3 - bx^2 + 1
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Ortak teğet doğrusunun denkleminin yazılması ve her iki fonksiyonun teğet noktalarındaki türev değerlerinin eğime eşitlenmesiyle elde edilen parametreler toplamı 5'tir.
Verilen fonksiyonların teğet oldukları noktalardaki türevleri ortak teğet doğrusunun eğimine (m = 1) eşittir. Bu eğim kullanılarak b = 1 değeri bulunur. Elde edilen teğet noktası (1, 1) yardımıyla ortak teğet doğrusunun denklemi y = x olarak yazılır. Diğer teğet noktası da bu denklemi sağlamak zorunda olduğundan a = 4 ve dolayısıyla a + b = 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 türev fonksiyonu elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=2(2)−3=1f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonuna x=1x = 1 noktasında teğet olan doğrunun eğimini kullanarak bb parametresini bulmak.
g′(x)=3x2−2bxg'(x) = 3x^2 - 2bx türev fonksiyonu elde edilir. x=1x = 1 için g′(1)=3−2bg'(1) = 3 - 2b olur. Ortak teğet doğrusunun eğimi 1 olduğundan, 3−2b=13 - 2b = 1 ise b=1b = 1 bulunur.
Aynı teğet doğrusu g(x)g(x) e��risine de teğet olduğundan, g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi de teğet doğrusunun eğimi olan 1'e eşit olmalıdır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek ve ortak teğet doğrusunun denklemini yazmak.
b=1b = 1 için g(x)=x3−x2+1g(x) = x^3 - x^2 + 1 olur. g(1)=1g(1) = 1 olduğundan teğet noktası (1,1)(1, 1)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan ve (1,1)(1, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y−1=1(x−1)y - 1 = 1(x - 1) yani y=xy = x olarak bulunur.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak ortak teğet doğrusunun denklemi elde edilir.
4
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktasını bulup teğet doğrusu üzerinde olduğunu kullanarak aa parametresini ve ardından a+ba + b toplamını hesaplamak.
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktası (2,f(2))(2, f(2))'dir. f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Bu nokta y=xy = x doğrusu üzerinde olduğundan a−2=2a - 2 = 2 ise a=4a = 4 bulunur. Buradan a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 elde edilir.
Eğri üzerindeki teğet noktası aynı zamanda teğet doğrusunun da üzerinde yer almak zorundadır.

Key Concept

İki farklı fonksiyona teğet olan ortak doğrunun eğiminin türev yardımıyla hesaplanması ve teğet noktalarının doğru denklemini sağlaması prensibi.
Estimated Time:2m 0s
Question 62Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2−6x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 2

eğrisinin teğetlerinden eğimi en küçük olan teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eğriye çizilen teğetler arasında eğimi en küçük olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 olarak bulunur. Bu fonksiyon teğetlerin eğimini temsil eden kolları yukarı doğru bir paraboldür ve minimum değerini tepe noktasında yani x=1x = 1 noktasında alır. x=1x = 1 için teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9 olur. Denklemi yazıldığında y−(−6)=−9(x−1)  ⟹  y=−9x+3y - (-6) = -9(x - 1) \implies y = -9x + 3 doğrusu elde edilir. Bu doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı ise 3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eğrinin teğetlerinin eğimini veren türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6
Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunun minimum değerini aldığı x apsis değerini tepe noktası formülüyle belirleyin.
x=1x = 1
f′(x)f'(x) fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiği için minimum değerini tepe noktasında (r=−b/2ar = -b / 2a) alır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını ve teğet doğrusunun eğimini hesaplayın.
Teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9
Teğet noktasının y koordinatı orijinal fonksiyonda x=1x = 1 yazılarak, eğim ise türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazılarak bulunur.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturun ve y eksenini kestiği ordinat değerini bulun.
Doğru denklemi y=−9x+3y = -9x + 3 ve y eksenini kestiği ordinat 33
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Bu denklemde x=0x = 0 yazıldığında doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı bulunur.

Key Concept

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir. ��kinci dereceden türev fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta tepe noktası yardımıyla bulunarak minimum eğimli teğet doğrusu belirlenir.
Question 63Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−ax+5f(x) = x^2 - ax + 5

parabolünün üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eksenleri kestiği noktalar AA ve BB dir.

Köşeleri koordinat başlangıcı (OO), AA ve BB noktaları olan OABOAB üçgeninde ∣OA∣=2∣OB∣|OA| = 2|OB| olduğuna göre, aa sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Doğru cevap 6 değeridir.
Doğru cevap olan 6 değeri için, normal doğrusunun eğimi 1/2 olur ve bu doğru eksenleri (8,0) ve (0,-4) noktalarında keser. Bu durumda üçgenin dik kenar uzunlukları 8 birim ve 4 birim olduğundan |OA| = 2|OB| eşitliği sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulunuz.
f'(x) = 2x - a olduğundan x = 2 noktasındaki teğet eğimi m_t = 4 - a olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet ve normal doğrularının dikliği ilişkisini kullanarak normal doğrusunun eğimini belirleyiniz.
m_t * m_n = -1 bağıntısından m_n = 1 / (a - 4) elde edilir.
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir ve dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Eksenleri kesen bir doğrunun eksen kestiği noktaların orijine uzaklıkları oranı ile eğimi arasındaki ilişkiyi kurunuz.
y = mx + d doğrusu için |OA| = |d/m| ve |OB| = |d| olur. Buradan |OA| = 2|OB| eşitliği |d/m| = 2|d| yazılırsa, doğrunun orijinden geçmediği bilindiğinden (d ≠ 0) |m_n| = 1/2 bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktaların uzunluk oranları, doğrunun eğiminin mutlak değerinin çarpmaya göre tersi ile ilişkilidir.
4
Elde edilen eğim değerini a parametresine eşitleyerek olası a değerlerini hesaplayınız.
m_n = 1/2 için 1/(a-4) = 1/2 ise a = 6; m_n = -1/2 için 1/(a-4) = -1/2 ise a = 2 bulunur. a = 6 değeri seçeneklerde mevcuttur.
Eğimin mutlak değeri 1/2 olduğundan normal doğrusunun eğimi 1/2 veya -1/2 olmalıdır.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir ve doğrunun eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik oran doğrunun eğimini belirler.
Question 64Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=ax+bx−1f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}

eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusuna paraleldir.

Bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Katsayıların çarpımı olan 2'dir.
Fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{-a-b}{(x-1)^2} elde edilir. x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusuna paralel olduğundan teğetin eğimi −3-3'tür. Buradan f′(2)=−a−b=−3  ⟹  a+b=3f'(2) = -a - b = -3 \implies a + b = 3 bağıntısına ulaşılır. Teğet doğrusunun denklemi y−f(2)=−3(x−2)  ⟹  y=−3x+6+f(2)y - f(2) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + f(2) olarak yazılır. Doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğuna göre 6+f(2)=11  ⟹  f(2)=56 + f(2) = 11 \implies f(2) = 5 olmalıdır. Fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak f(2)=2a+b=5f(2) = 2a + b = 5 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden a=2a = 2, b=1b = 1 ve çarpımları 22 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=a(x−1)−(ax+b)(1)(x−1)2=−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{a(x-1) - (ax+b)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-a - b}{(x-1)^2}
Teğet doğrusunun eğimi, teğet noktasındaki türev değerine eşit olduğundan fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetin eğimini, paralel olduğu doğrunun eğimine eşitleyin.
f′(2)=−a−b(2−1)2=−a−b=−3  ⟹  a+b=3f'(2) = \frac{-a - b}{(2-1)^2} = -a - b = -3 \implies a + b = 3
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir ve y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusunun eğimi −3-3'tür.
3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun genel denklemini yazın.
y−f(2)=f′(2)(x−2)  ⟹  y−(2a+b)=−3(x−2)  ⟹  y=−3x+6+2a+by - f(2) = f'(2)(x - 2) \implies y - (2a + b) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 2a + b
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazma kuralı uygulanır.
4
Teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatını kullanarak ikinci bir denklem elde edin.
x=0x = 0 için y=6+2a+b=11  ⟹  2a+b=5y = 6 + 2a + b = 11 \implies 2a + b = 5
Bir doğrunun yy eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde xx yerine 00 yazılır.
5
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek katsayıları ve çarpımlarını bulun.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=52a + b = 5 denklem sisteminin ortak çözümünden a=2a = 2 ve b=1b = 1 elde edilir. Buradan çarpım a⋅b=2a \cdot b = 2 bulunur.
Sistemdeki birinci denklem ikinci denklemden çıkarılarak aa değeri, ardından yerine yazılarak bb değeri elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Alternative Method

Teğet doğrusunun denklemini eğimi −3-3 ve yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğu için doğrudan y=−3x+11y = -3x + 11 olarak yazabiliriz. Teğet noktasının apsisi 22 olduğundan bu noktadaki ordinat değeri y=−3(2)+11=5y = -3(2) + 11 = 5 olur. Dolayısıyla teğet noktası (2,5)(2, 5)'tir. Bu nokta eğri üzerinde olduğundan f(2)=5f(2) = 5 ve bu noktadaki türev değeri teğet doğrusunun eğimine eşit olduğundan f′(2)=−3f'(2) = -3 olmalıdır. Buradan aa ve bb değerlerine ulaşılarak çarpımları hesaplanır.
Estimated Time:2m 0s
Question 65Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğine x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−3y = 4x - 3 olduğuna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −4-4

Answer

g(x) fonksiyonunun grafiğine x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi -4'tür.
g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi g′(1)g'(1) değeridir. Zincir kuralına göre g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) yazılır. x=1x = 1 için g′(1)=f′(−2)⋅(−1)g'(1) = f'(-2) \cdot (-1) elde edilir. f(x)f(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−3y = 4x - 3 olarak verildiğinden, bu doğrunun eğimi olan 44, f′(−2)f'(-2) değerine eşittir. Buradan g′(1)=4⋅(−1)=−4g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) eşitliğinin her iki tarafının xx'e göre türevini alalım.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: Dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulmak istediğimiz x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazalım.
g′(1)=f′(12−3⋅1)⋅(2⋅1−3)=f′(−2)⋅(−1)g'(1) = f'(1^2 - 3 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1 - 3) = f'(-2) \cdot (-1) bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
f(x)f(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yardımıyla f′(−2)f'(-2) değerini belirleyelim.
y=4x−3y = 4x - 3 doğrusunun eğimi 44 olduğundan, f′(−2)=4f'(-2) = 4 olur.
Teğet doğrusunun eğimi, doğrunun y=mx+ny = mx + n biçimindeki denkleminde xx'in katsayısı olan mm değeridir.
4
Bulduğumuz f′(−2)f'(-2) değerini Adım 2'de elde ettiğimiz eşitlikte yerine yazarak g′(1)g'(1) değerini hesaplayalım.
g′(1)=4⋅(−1)=−4g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4 bulunur.
Elde edilen teğet eğimi ve iç türev değerleri çarpılarak nihai eğim hesaplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralı [f(u(x))]′=f′(u(x))⋅u′(x)[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x) şeklinde uygulanır.
Estimated Time:1m 30s
Question 66Question →

Dik koordinat d��zleminde, f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, bu eğriyi x=1x = 1 dışındaki iki farklı noktada daha kesmektedir. Buna göre, bu kesim noktalarının apsislerinin çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktaların apsisleri çarpımı -2'dir.
Eğrinin x = 1 noktasındaki normal doğrusunun denklemi y = x + 1 olarak bulunur. Bu doğru ile eğrinin ortak çözümü yapıldığında kesim noktalarının apsisleri 1, -1 ve 2 olarak elde edilir. x = 1 dışındaki noktaların apsisleri çarpımı (-1) * 2 = -2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Teğet noktasının ordinatını hesaplama
P(1, 2)
Teğet noktasının eğri üzerinde olduğunu bildiğimiz için x = 1 değerini fonksiyonda yerine yazarız.
2
Fonksiyonun türevini alma
f'(x) = 3x^2 - 4x
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla türev fonksiyonuna ihtiyaç duyarız.
3
x = 1 noktasındaki teğet eğimini bulma
m_t = -1
x = 1 noktasındaki türev değeri teğet doğrusunun eğimini verir.
4
Normal doğrusunun eğimini bulma
m_n = 1
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.
5
Normal doğrusunun denklemini yazma
y = x + 1
Eğimi 1 olan ve P(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini oluştururuz.
6
Normal doğrusu ile eğrinin kesim noktalarını belirleme
x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0
Doğru ve eğrinin ortak noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.
7
Denklemin köklerini bulma
x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 2
Elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kesim noktalarının apsislerini elde ederiz.
8
Diğer noktaların apsisleri çarpımını hesaplama
-2
x = 1 noktası dışındaki kesim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 değerlerini çarparız.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerinin negatif tersidir. Normal doğrusunun eğri ile ortak çözümü yapılarak kesim noktaları bulunur.
Question 67Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} eğrisine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile g(x)=x2−3xg(x) = x^2 - 3x eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu birbirine diktir.

Buna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Doğru cevap -4 değeridir.
Teğet doğrularının eğimleri, çizildikleri noktalardaki türev değerlerine eşittir. f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} türevi f′(x)=−ax2f'(x) = -\frac{a}{x^2} olup x=2x = 2 için eğim −a4-\frac{a}{4} olur. g(x)=x2−3xg(x) = x^2 - 3x türevi g′(x)=2x−3g'(x) = 2x - 3 olup x=1x = 1 için eğim −1-1 olur. Doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerinin çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan (−a4)⋅(−1)=−1\left(-\frac{a}{4}\right) \cdot (-1) = -1 eşitliği elde edilir ve a=−4a = -4 bulunur. Bu nedenle doğru yanıt −4-4 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen fonksiyonların türevlerini alın.
f′(x)=−ax2f'(x) = -\frac{a}{x^2} ve g′(x)=2x−3g'(x) = 2x - 3
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğetlerin çizildiği noktaların apsislerini türev fonksiyonlarında yerine yazarak teğet doğrularının eğimlerini bulun.
f(x)f(x) için x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m1=f′(2)=−a4m_1 = f'(2) = -\frac{a}{4} ve g(x)g(x) için x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi m2=g′(1)=−1m_2 = g'(1) = -1 olur.
Apsis değerleri türev fonksiyonuna yazılarak ilgili noktalardaki teğet doğrularının eğimleri elde edilir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu uygulayarak a parametresini hesaplayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (−a4)⋅(−1)=−1  ⟹  a4=−1  ⟹  a=−4m_1 \cdot m_2 = -1 \implies \left(-\frac{a}{4}\right) \cdot (-1) = -1 \implies \frac{a}{4} = -1 \implies a = -4 bulunur.
Dik kesişen iki doğrunun eğimlerinin çarpımı -1'e eşittir.

Key Concept

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değeridir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 4 / 4
Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal) Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 4 | Examkin