Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Değer Bulma

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={3x−1,x rasyonel isex2−a,x irrasyonel isef(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \text{ rasyonel ise} \\ x^2 - a, & x \text{ irrasyonel ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(2))=8f(f(\sqrt{2})) = 8

olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. 4Answer
  2. B
    5
  3. C
    -1
  4. D
    6
  5. E
    -6

Answer

a gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.
İçteki fonksiyonun girdisi olan karekök iki sayısı irrasyonel olduğu için fonksiyonun ikinci kuralı işletilir ve iki eksi a elde edilir. İki eksi a ifadesinin rasyonel olması durumunda fonksiyonun birinci kuralından a sayısı eksi bir rasyonel sayısı olarak bulunur. İki eksi a ifadesinin irrasyonel olması durumunda ise fonksiyonun ikinci kuralından a kare eksi beş a eksi dört eşittir sıfır denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri irrasyonel olup toplamları beştir. Her iki durumdan elde edilen tüm farklı a değerlerinin toplamı ise eksi bir ile beşin toplamından dört olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyondaki iç değeri hesaplamak için 2\sqrt{2} sayısının türünü belirleyip ilgili fonksiyon satırını uygulayalım.
2\sqrt{2} sayısı irrasyonel bir sayı olduğundan ikinci satır kullanılır: f(2)=(2)2−a=2−af(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - a = 2 - a elde edilir.
Parçalı fonksiyon kuralların�� doğru girdi değerine göre başlatmak için.
2
Elde edilen sonucu bileşke eşitliğinde yerine yazarak çözülmesi gereken denklemi kuralım.
f(f(2))=f(2−a)=8f(f(\sqrt{2})) = f(2 - a) = 8 denklemi elde edilir. Bu adımda 2−a2 - a ifadesinin rasyonel veya irrasyonel olma durumlarına göre iki farklı inceleme yapmalıyız.
2−a2 - a ifadesinin sayı kümesi aa değerine göre değiştiğinden tüm olasılıkları kapsamak için.
3
1. Durum: 2−a2 - a ifadesinin rasyonel sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda aa da bir rasyonel sayı olmalıdır. Fonksiyonun rasyonel sayılar için tanımlanan birinci satırını kullanalım.
3(2−a)−1=8  ⟹  6−3a−1=8  ⟹  5−3a=8  ⟹  3a=−3  ⟹  a=−13(2 - a) - 1 = 8 \implies 6 - 3a - 1 = 8 \implies 5 - 3a = 8 \implies 3a = -3 \implies a = -1 bulunur. a=−1a = -1 rasyonel bir sayı olduğundan bu çözüm geçerlidir.
Girdinin rasyonel olduğu varsayımı altındaki tutarlı aa değerini bulmak için.
4
2. Durum: 2−a2 - a ifadesinin irrasyonel sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda aa da bir irrasyonel sayı olmalıdır. Fonksiyonun ikinci satırını kullanalım.
(2−a)2−a=8  ⟹  4−4a+a2−a=8  ⟹  a2−5a−4=0(2 - a)^2 - a = 8 \implies 4 - 4a + a^2 - a = 8 \implies a^2 - 5a - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Girdinin irrasyonel olduğu varsayımı altındaki aa değerlerini belirleyecek denklemi kurmak için.
5
Elde edilen ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin varlığını ve irrasyonel olup olmadıklarını kontrol edip, kökler toplamını bulalım.
Δ=(−5)2−4(1)(−4)=41>0\Delta = (-5)^2 - 4(1)(-4) = 41 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kök vardır. Diskriminant tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir ve 2−a2 - a ifadesi de irrasyonel kalır. Kökler toplamı −b/a-b/a formülüyle 55 olarak bulunur.
İkinci durumdan gelen geçerli aa değerlerinin toplamına doğrudan ulaşmak için.
6
Bulunan tüm geçerli aa değerlerini toplayalım.
a1+(a2+a3)=−1+5=4a_1 + (a_2 + a_3) = -1 + 5 = 4 bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak için.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma adımları ve sayı kümelerinin rasyonel/irrasyonel olarak sınıflandırılması.
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Değer Bulma

More questions from this topic