Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyonlarda Değer Bulma

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu, 11 dışındaki tüm gerçel sayılar için

f(x)+2f(x+2x−1)=3xf(x) + 2 f\left(\frac{x+2}{x-1}\right) = 3x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(f(3))f(f(3)) değeri kaçtır?

  1. 6Answer
  2. B
    2
  3. C
    0
  4. D
    4
  5. E
    3

Answer

İçten dışa doğru yapılan işlem adımları sonucunda f(3)=2f(3) = 2 ve ardından f(2)=6f(2) = 6 elde edilir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte sırasıyla x=3x = 3 ve x=5/2x = 5/2 yazılıp ortak çözüm yapıldığında f(3)=2f(3) = 2 değeri elde edilir. f(f(3))=f(2)f(f(3)) = f(2) değerini bulmak için ise x=2x = 2 ve x=4x = 4 yazılıp oluşan yeni denklem sistemi çözüldüğünde f(2)=6f(2) = 6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
f(3)f(3) değerine ulaşmak amacıyla verilen fonksiyonel denklemde x=3x = 3 yazılır.
f(3)+2f(3+23−1)=3(3)  ⟹  f(3)+2f(52)=9f(3) + 2 f\left(\frac{3+2}{3-1}\right) = 3(3) \implies f(3) + 2 f\left(\frac{5}{2}\right) = 9 denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerini içeren ilk denklemi oluşturmak.
2
Oluşan denklemdeki diğer bilinmeyen olan f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) ifadesini bulmak için x=52x = \frac{5}{2} yazılır.
f(52)+2f(5/2+25/2−1)=3(52)  ⟹  f(52)+2f(3)=152f\left(\frac{5}{2}\right) + 2 f\left(\frac{5/2+2}{5/2-1}\right) = 3\left(\frac{5}{2}\right) \implies f\left(\frac{5}{2}\right) + 2 f(3) = \frac{15}{2} denklemi elde edilir.
f(3)f(3) ve f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) değerlerine bağlı ikinci bir denklem elde ederek iki bilinmeyenli bir sistem kurmak.
3
Elde edilen bu iki denklem ortak çözülerek f(3)f(3) de��eri hesaplanır.
f(3)=af(3) = a ve f(52)=bf\left(\frac{5}{2}\right) = b olsun.
a+2b=9a + 2b = 9
2a+b=152  ⟹  4a+2b=152a + b = \frac{15}{2} \implies 4a + 2b = 15 olur.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında:
3a=6  ⟹  a=f(3)=23a = 6 \implies a = f(3) = 2 bulunur.
Bileşke fonksiyonun iç kısmının değerini netleştirmek.
4
f(f(3))=f(2)f(f(3)) = f(2) değerine ulaşmak amacıyla ana denklemde x=2x = 2 yazılır.
f(2)+2f(2+22−1)=3(2)  ⟹  f(2)+2f(4)=6f(2) + 2 f\left(\frac{2+2}{2-1}\right) = 3(2) \implies f(2) + 2 f(4) = 6 denklemi elde edilir.
f(2)f(2) değerini içeren ilk denklemi kurmak.
5
Denklemdeki diğer bilinmeyen olan f(4)f(4) ifadesini bulmak için x=4x = 4 yazılır.
f(4)+2f(4+24−1)=3(4)  ⟹  f(4)+2f(2)=12f(4) + 2 f\left(\frac{4+2}{4-1}\right) = 3(4) \implies f(4) + 2 f(2) = 12 denklemi elde edilir.
f(2)f(2) ve f(4)f(4) değerlerine bağlı ikinci bir denklem elde ederek yeni bir sistem kurmak.
6
Elde edilen yeni iki denklem ortak çözülerek f(2)f(2) değeri hesaplanır.
f(2)=cf(2) = c ve f(4)=df(4) = d olsun.
c+2d=6c + 2d = 6
2c+d=12  ⟹  4c+2d=242c + d = 12 \implies 4c + 2d = 24 olur.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında:
3c=18  ⟹  c=f(2)=63c = 18 \implies c = f(2) = 6 bulunur.
Bileşke fonksiyonun dış değerini hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde uygun değerler yazılarak elde edilen çok bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla fonksiyon değerlerini hesaplama.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Değer Bulma

More questions from this topic