Examkin

Question

Difficulty: MediumPozitif ve Negatif Sayılar

Aşağıda aa, bb ve cc gerçel sayıları arasındaki bazı eşitsizlik ilişkileri verilmiştir:

* a2⋅b≤0a^2 \cdot b \le 0
* b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0
* a⋅c<0a \cdot c < 0

Buna göre, bu ilişkileri sağlayan her aa, bb ve cc değeri için aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitiftir?

  1. A
    a−ba - b
  2. B
    a⋅c−ba \cdot c - b
  3. a2−ba^2 - bAnswer
  4. D
    c−ac - a
  5. E
    b2−cb^2 - c

Answer

a2−ba^2 - b ifadesi her zaman pozitiftir.
a2−ba^2 - b ifadesi her zaman pozitiftir. Çünkü a⋅c<0a \cdot c < 0 olduğundan aa sıfıra eşit olamaz ve karesi (a2a^2) her zaman pozitiftir. a2⋅b≤0a^2 \cdot b \le 0 eşitsizliğinde a2>0a^2 > 0 olduğu için b≤0b \le 0 olmalıdır. Buradan −b≥0-b \ge 0 elde edilir. Pozitif bir sayı (a2a^2) ile negatif olmayan bir sayının (−b-b) toplamı her koşulda pozitiftir.

Step-by-Step Solution

1
a⋅c<0a \cdot c < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
aa ve cc zıt işaretlidir. Dolayısıyla a≠0a \neq 0 ve c≠0c \neq 0 olur.
Çarpımları negatif olan iki sayı sıfırdan farklı ve zıt işaretli olmalıdır.
2
a≠0a \neq 0 bilgisini a2⋅b≤0a^2 \cdot b \le 0 eşitsizliğinde kullanmak.
a2>0a^2 > 0 olduğundan b≤0b \le 0 bulunur.
Sıfır dışındaki tüm gerçel sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. Pozitif bir sayı ile çarpımı sıfırdan küçük veya eşit olan bir değişkenin kendisi sıfıra eşit ya da negatif olmalıdır.
3
bb sayısının durumlarına göre b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0 eşitsizliğini incelemek.
b=0b = 0 ise cc her iki işareti de alabilir (ancak aa ile zıt işaretli kalır). b<0b < 0 ise b3<0b^3 < 0 olacağından c<0c < 0 (dolayısıyla a>0a > 0) olur.
Sıfırın işaretsiz (nötr) olma özelliği göz önüne alındığında, bb değerinin 00 veya negatif olma durumları ayrı ayrı değerlendirilmelidir.
4
a2−ba^2 - b ifadesinin işaretini elde edilen durumlar için doğrulamak.
a2>0a^2 > 0 ve −b≥0-b \ge 0 olduğu için a2−b>0a^2 - b > 0 eşitsizliği daima sağlanır.
Pozitif bir sayı ile negatif olmayan (sıfır veya pozitif) bir sayının toplamı her zaman pozitif bir sonuç verir.

Key Concept

Pozitif ve negatif sayılarda işaret incelemesi, sıfırın nötr olma özelliği ve çift kuvvetlerin daima pozitif olması.
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic