Examkin

Question

Difficulty: Very hardPozitif ve Negatif Sayılar
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a+b<0a + b < 0
(a⋅b)3⋅c5=0(a \cdot b)^3 \cdot c^5 = 0
a2⋅c>b2⋅ca^2 \cdot c > b^2 \cdot c
koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle negatiftir?

  1. A
    (−c)2⋅(b−a)(-c)^2 \cdot (b - a)
  2. B
    (−b)3⋅(a−c)(-b)^3 \cdot (a - c)
  3. c⋅(a−b)c \cdot (a - b)Answer
  4. D
    −a2⋅c−b-a^2 \cdot c - b
  5. E
    a⋅(b−c)2a \cdot (b - c)^2

Answer

c * (a - b) ifadesi
Doğru olan ifadede, değişkenlerin her iki olası durumunda da çarpımın sonucu negatif çıkmaktadır. Birinci durumda a sıfır, b negatif ve c negatif olduğundan c * (a - b) ifadesi negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olup negatiftir. İkinci durumda a negatif, b sıfır ve c pozitif olduğundan c * (a - b) ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olup yine negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği analiz ederek değişkenlerin sıfır olma durumunu inceleme.
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 olduğu için aa, bb veya cc sayılarından en az birinin sıfır olması gerektiği belirlenir.
Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
a2⋅c>b2⋅ca^2 \cdot c > b^2 \cdot c eşitsizliğini kullanarak cc ve a2−b2a^2 - b^2 ifadelerinin işaretlerini belirleme.
(a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 elde edilir. Bu çarpım sıfırdan büyük olduğu için c≠0c \neq 0 ve a2≠b2a^2 \neq b^2 olmalıdır. Dolayısıyla sıfır olan değişken aa veya bb olmalıdır.
Eşitsizlik yönü ve çarpımın işareti analiz edilerek sıfır olamayacak değişkenler elenir.
3
a=0a = 0 durumunu (Durum 1) inceleme.
a2−b2=−b2<0a^2 - b^2 = -b^2 < 0 olur (çünkü b≠0b \neq 0). (a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 olması için c<0c < 0 olmalıdır. a+b<0  ⟹  0+b<0  ⟹  b<0a + b < 0 \implies 0 + b < 0 \implies b < 0 elde edilir. Bu durumda işaretler (a,b,c)=(0,−,−)(a, b, c) = (0, -, -) olur.
Değişkenlerden birinin sıfır olması varsayımı altında diğer değişkenlerin işaretleri bulunur.
4
b=0b = 0 durumunu (Durum 2) inceleme.
a2−b2=a2>0a^2 - b^2 = a^2 > 0 olur (çünkü a≠0a \neq 0). (a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 olması için c>0c > 0 olmalıdır. a+b<0  ⟹  a+0<0  ⟹  a<0a + b < 0 \implies a + 0 < 0 \implies a < 0 elde edilir. Bu durumda işaretler (a,b,c)=(−,0,+)(a, b, c) = (-, 0, +) olur.
Diğer olası sıfır durumu incelenerek alternatif işaret dağılımı belirlenir.
5
Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin değerini inceleme.
c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi Durum 1 için −b⋅c<0-b \cdot c < 0 ve Durum 2 için a⋅c<0a \cdot c < 0 değerlerini alır. Her iki durumda da sonuç kesinlikle negatiftir.
Bulunan tüm durumların ortak olarak sağladığı kesin sonucu tespit etmek.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın İşaretsizlik Özelliği

Alternative Method

Değişkenlerin işaretlerini ve sıfır olma durumlarını belirledikten sonra, seçenekleri test etmek amacıyla her iki durumu da temsil edecek uygun değerler seçilebilir. Örneğin Durum 1 için a = 0, b = -1, c = -2 değerleri; Durum 2 için a = -2, b = 0, c = 1 değerleri verilerek seçeneklerin her iki durum için de negatif değer üretip üretmediği hızlıca kontrol edilebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic