Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için,
* x−y<0x - y < 0
* y⋅z3<0y \cdot z^3 < 0
* x2⋅(y−z)>0x^2 \cdot (y - z) > 0
* x3⋅z5>0x^3 \cdot z^5 > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. x⋅y−z>0x \cdot y - z > 0
II. x2⋅y−z3>0x^2 \cdot y - z^3 > 0
III. (x−z)2⋅y>0(x - z)^2 \cdot y > 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIAnswer
  3. C
    I ve II
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Verilen eşitsizlikleri sağlayan değişkenlerin işaretleri x<0x < 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0 olup, bu duruma göre sadece ikinci öncüldeki x2⋅y−z3x^2 \cdot y - z^3 ifadesi her zaman pozitiftir. Bu nedenle doğru cevap 'Yalnız II' seçeneğidir.
Değişkenlerin işaretleri x<0x < 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0 olarak belirlendikten sonra, ikinci öncüldeki x2⋅y−z3x^2 \cdot y - z^3 ifadesinin her iki teriminin de pozitif olduğu görülür. İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitif olacağından 'Yalnız II' ifadesi her zaman doğrudur. Birinci öncülde negatif ve pozitif sayıların toplamının işareti belirsizdir, üçüncü öncülde ise değişkenlerin birbirine eşit olma durumunda ifadenin sıfıra eşitlenebileceği unutulmamalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x3⋅z5>0x^3 \cdot z^5 > 0 ve y⋅z3<0y \cdot z^3 < 0 eşitsizliklerinden yola çıkarak değişkenlerin işaret ilişkilerini analiz etmek.
xx ile zz aynı işaretli, yy ile zz ise zıt işaretli olmalıdır.
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, pozitif sayıların tek kuvvetleri pozitif olduğundan, tek kuvvetler tabanın işaretini etkilemez.
2
x2⋅(y−z)>0x^2 \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğinde x2x^2 teriminin işaretini belirleyip yy ile zz aras��ndaki sıralamayı bulmak.
xx sıfırdan farklı olduğu için x2>0x^2 > 0 olur. Dolayısıyla y−z>0y - z > 0 yani y>zy > z elde edilir.
Sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan, çarpımın pozitif olması için diğer çarpanın da pozitif olması gerekir.
3
Elde edilen y>zy > z ve yy ile zz'nin zıt işaretli olması bilgilerini birleştirerek tüm değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek.
y>0y > 0, z<0z < 0 ve x<0x < 0 olarak bulunur.
Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif, küçük olanı negatif olmak zorundadır. xx ile zz aynı işaretli olduğundan xx de negatif olur.
4
Bulunan işaretlere göre öncülleri sırasıyla test etmek.
I. öncül belirsizdir, II. öncül daima doğrudur, III. öncül ise x=zx = z durumu için yanlıştır.
I. öncülde negatif ve pozitif sayıların toplamı büyüklüklerine bağlıdır. III. öncülde farklı iki değişkenin birbirine eşit olabilme durumu (x=zx=z) sıfır sonucunu doğurabilir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayıların İşaret Analizi ve Kuvvet Kuralları
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic