Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; aa, bb ve cc birer tam sayıdır.

* a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0
* b3⋅c≤0b^3 \cdot c \le 0
* a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
* a+b+c=−7a + b + c = -7
* a2−b2=21a^2 - b^2 = 21

olduğuna göre, a2−b3+ca^2 - b^3 + c ifadesinin değeri kaçtır?

Answer: 33

Answer

İfadenin doğru değeri 33'tür.
Verilen öncüllerden a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 ifadesi a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olmasını gerektirir. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde aa ve bb sıfırdan farklı olduğundan nötr (işaretsiz) sayı olan c=0c = 0 olmalıdır. Buradan a+b=−7a+b=-7 ve a2−b2=21  ⟹  a−b=−3a^2-b^2=21 \implies a-b=-3 elde edilir. Denklem sistemi çözüldüğünde a=−5a=-5 ve b=−2b=-2 bulunur. İstenen a2−b3+ca^2 - b^3 + c ifadesi ise (−5)2−(−2)3+0=25−(−8)=33(-5)^2 - (-2)^3 + 0 = 25 - (-8) = 33 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini incelemek.
a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu bulunur.
Bir tam sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın negatif olabilmesi için b2>0b^2 > 0 ve a<0a < 0 olmalıdır.
2
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini ve sıfırın nötr olma özelliğini kullanmak.
c=0c = 0 olduğu belirlenir.
a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olduğundan, çarpımın sıfır olmasını sağlayan tek sayı olan cc değeri nötr (işaretsiz) sıfır sayısı olmalıdır.
3
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \le 0 koşulunu kontrol etmek.
Koşulun sağlandığı görülür.
c=0c = 0 için b3⋅0=0≤0b^3 \cdot 0 = 0 \le 0 ifadesi her zaman doğrudur.
4
a+b+c=−7a + b + c = -7 ve a2−b2=21a^2 - b^2 = 21 denklemlerini çözmek.
a=−5a = -5 ve b=−2b = -2 bulunur.
c=0c = 0 olduğundan a+b=−7a + b = -7 olur. İki kare farkı özdeşliğinden (a−b)(a+b)=21  ⟹  (a−b)(−7)=21  ⟹  a−b=−3(a-b)(a+b) = 21 \implies (a-b)(-7) = 21 \implies a-b = -3 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=−5a = -5 ve b=−2b = -2 bulunur. a<0a < 0 koşulu da sağlanmaktadır.
5
a2−b3+ca^2 - b^3 + c ifadesinin değerini hesaplamak.
33 bulunur.
(−5)2−(−2)3+0=25−(−8)=33(-5)^2 - (-2)^3 + 0 = 25 - (-8) = 33 işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Pozitif ve negatif sayılarda işaret incelemesi, sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve iki kare farkı özdeşliği ile ilişkilendirilmesi.
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic