Examkin

Question

Difficulty: MediumPozitif ve Negatif Sayılar

xx, yy ve zz gerçel sayıları için,

* x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0
* y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0
* x+y+z=0x + y + z = 0

koşulları sağlanmaktadır. Buna göre; xx, yy ve zz gerçel sayılarından pozitif olanların sayısı kaçtır?

Answer: 1

Answer

Pozitif olan sayıların sayısı 1'dir.
Doğru cevap 1'dir. y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0 ifadesinden yy ve zz sayılarının işaretlerinin aynı olduğu anlaşılır. Eğer her ikisi de pozitif olsaydı, x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0 eşitsizliğinden x=0x = 0 gelirdi. Bu durumda x+y+z=0x+y+z=0 eşitliği y+z=0y+z=0 olmasını gerektirirdi ki iki pozitif sayının toplamı sıfır olamaz. Dolayısıyla yy ve zz negatif olmalıdır. Buradan x=−(y+z)x = -(y+z) pozitif olur. Yani tek pozitif sayı xx'tir.

Step-by-Step Solution

1
y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0 eşitsizliğini analiz etmek.
yy ve zz aynı işaretli ve sıfırdan farklıdır.
Çarpımın pozitif olması için her iki çarpanın işaretinin aynı olması gerekir. Tek kuvvetler tabanın işaretini etkilemediğinden z3z^3 ile zz aynı işaretlidir.
2
yy ve zz sayılarının pozitif olması durumunu incelemek.
Çelişki elde edilir, bu durum imkansızdır.
y>0y > 0 ise x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0 eşitsizliği x4≤0x^4 \le 0 olmasını gerektirir. Bir gerçel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından x=0x = 0 olur. Bu durumda x+y+z=0⇒y+z=0x + y + z = 0 \Rightarrow y + z = 0 olur ancak iki pozitif sayının toplamı sıfır olamaz.
3
yy ve zz sayılarının negatif olması durumunu incelemek.
x>0x > 0, y<0y < 0 ve z<0z < 0 bulunur.
y<0y < 0 ise y5<0y^5 < 0 olur ve x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için daima sağlanır. x+y+z=0x + y + z = 0 denkleminden x=−(y+z)x = -(y + z) elde edilir. İki negatif sayının toplamı negatif olduğundan, önüne gelen eksi işaretiyle xx pozitif bir değer alır.
4
Pozitif sayıların toplam sayısını bulmak.
Pozitif olan sayıların sayısı 1'dir.
xx pozitif, yy ve zz negatif olduğundan yalnızca 1 adet pozitif sayı vardır.

Key Concept

Pozitif ve negatif sayıların özellikleri, çift kuvvetlerin negatif olmama özelliği ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumu.
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic