Bir x ger��el sayısı için x^4 > -x^3 eşitsizliğinin sağlanması, x sayısının pozitif bir ge… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir $x$ ger��el sayısı için $x^4 > -x^3$ eşitsizliğinin sağlanması, $x$ sayısının pozitif bir gerçel sayı olması için gerek ve yeter koşuldur.

Answer: Answer

Verilen önerme yanlıştır (doğruluk değeri False'tur).

Verilen önermenin yanlış olmasının nedeni, eşitsizliği sağlayan negatif gerçel sayıların da bulunmasıdır (örneğin

x = -2

eşitsizliği sağlar ancak pozitif değildir). Dolayısıyla eşitsizliğin sağlanması,

x

'in pozitif olması için gerek bir koşul değildir.

Gerek ve yeter koşul ifadesinin matematiksel mantığını kuralım.

x^4 > -x^3

eşitsizliğinin sağlanması ile

x > 0

koşulunun birbirini çift yönlü gerektirmesi (

x^4 > -x^3 \iff x > 0

) incelenmelidir. Koşulun gerek ve yeter olması için hem sağa doğru hem de sola doğru gerektirmenin doğru olması gerekir.

Önermenin doğruluğunu test etmek için gerekli ve yeterli olma durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek.

x > 0

(pozitif sayı) durumunda eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

x > 0

ise

x^4 > 0

olur. Ayrıca

x^3 > 0

olacağından

-x^3 < 0

olur. Pozitif bir sayı, negatif bir sayıdan her zaman büyük olduğu için

x^4 > -x^3

eşitsizliği

x > 0

olan tüm sayılar için her zaman doğrudur. Bu yönüyle koşul yeterlidir.

Pozitif sayıların tüm kuvvetlerinin pozitif olmasından yararlanarak eşitsizliğin sol ve sağ taraflarının işaretlerini belirlemek.

x < 0

(negatif sayı) durumunda parantezli kuvvet kurallarını ve eşitsizlik yön değiştirmesini uygulayalım.

x < 0

iken

x^4 > 0

(negatif tabanın çift kuvveti pozitiftir) ve

x^3 < 0

(negatif tabanın tek kuvveti negatiftir) olur. Buradan

-x^3 > 0

elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, her iki tarafı negatif bir sayı olan

x^3

'e bölelim. Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirir:

x^4 > -x^3 \Rightarrow \frac{x^4}{x^3} < \frac{-x^3}{x^3} \Rightarrow x < -1

bulunur. Bu aralık sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumunu da dışarıda bırakır.

Negatif sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaretlerini doğru analiz etmek ve negatif bölen durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesini yönetmek.

Koşulun gerekliliğini test etmek için negatif bölgeden karşıt örnek verelim.

x < -1

aralığından seçilen

x = -2

sayısı için

(-2)^4 = 16

-(-2)^3 = 8

olup

16 > 8

eşitsizliği sağlanır. Ancak

x = -2

pozitif bir sayı değildir. Bu durum, eşitsizliğin sağlanmasının

x > 0

olmasını gerektirmediğini gösterir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.

Önermeyi çürüten en az bir gerçel sayı (karşıt örnek) bularak gerek koşul olmadığını ispatlamak.

Negatif ve pozitif sayıların kuvvetleri ile eşitsizliklerin yön değiştirme kuralları

Estimated Time:2m 0s

Question