Hız ve Hareket Problemleri Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 6

Question 101Question →

Doğrusal bir koşu parkurunun başlangıç noktasından aynı anda aynı yöne doğru sabit hızlarla koşmaya başlayan Arda ve Berk'in hızları sırasıyla saatte $12\text{ km}$ ve $15\text{ km}$ 'dir. Berk, parkurun bitiş çizgisine ulaştığı anda hiç durmadan geri dönüyor ve dönüş yolunda Arda ile karşılaşıyor. Karşılaşma gerçekleştiğinde Arda'nın bitiş çizgisine olan uzaklığı $2\text{ km}$ olduğuna göre, bu koşu parkurunun toplam uzunluğu kaç kilometredir?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Koşu parkurunun toplam uzunluğu 18 kilometredir.

Koşucuların aldıkları yolların hızlarına oranlanmasıyla elde edilen sürelerin eşitliği denkleminden parkurun uzunluğu 18 km bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koşucuların aldıkları yolları parkur uzunluğu (

x

) cinsinden yazma.

Arda'nın aldığı yol

x - 2

km, Berk'in aldığı yol

x + 2

km'dir.

Arda bitiş çizgisine

2

km kala karşılaştığı i��in parkur tamamlanmamıştır. Berk ise parkuru bitirip geri döndüğü için fazladan

2

km koşmuştur.

2

Sürelerin eşitliği prensibini kullanarak denklem kurma.

\frac{x - 2}{12} = \frac{x + 2}{15}

Aynı anda yola çıkıp karşılaştıkları için her iki koşucunun yolda geçirdiği süre eşittir.

3

Denklemi çözerek

x

değerini bulma.

5(x - 2) = 4(x + 2) \implies 5x - 10 = 4x + 8 \implies x = 18

Paydaları sadeleştirip içler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyen

x

değerini elde ederiz.

Key Concept

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki ve karşılaşma problemlerinde süre eşitliği ilkesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 102Question →

Bir otomobil sürücüsü, $360\text{ km}$ uzunluğundaki bir seyahatinin ilk yarısını saatte ortalama $v_1$ hızıyla, kalan yarısını ise saatte ortalama $v_2$ hızıyla tamamlamıştır.

Sürücü, tüm yolculuk boyunca ortalama hızını, bu iki hızın aritmetik ortalaması olan $\frac{v_1 + v_2}{2}$ formülüyle hesaplamıştır. Ancak otomobilin yol bilgisayarı, seyahatin gerçek ortalama hızını (toplam yolun toplam süreye oranı) hesaplamış ve sürücünün bulduğu değerden $10\text{ km/sa}$ daha az olduğunu göstermiştir.

$v_2 = 2v_1$ olduğuna göre, yol bilgisayarının gösterdiği gerçek ortalama hız kaç $\text{km/sa}$ 'tir?

60

75

80

90

120

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Yol bilgisayarının gösterdiği gerçek ortalama hız

80\text{ km/sa}

'tir.

Toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilen gerçek ortalama hız formülü uygulandığında gerçek hızın

80\text{ km/sa}

olduğu görülür. Aritmetik ortalama ile hesaplanan

90\text{ km/sa}

değeri gerçek değerden

10\text{ km/sa}

fazladır.

Step-by-Step Solution

1

Yolun ilk yarısı ve ikinci yarısı için geçen süreleri

v_1

cinsinden ifade edelim.

Yolun tamamı

360\text{ km}

olduğuna göre, her bir yarı

180\text{ km}

uzunluğundadır.

v_2 = 2v_1

olduğuna göre, ilk yarı için geçen süre

t_1 = \frac{180}{v_1}

saat ve ikinci yarı için geçen süre

t_2 = \frac{180}{v_2} = \frac{180}{2v_1} = \frac{90}{v_1}

saat olur.

Toplam süreyi tek bir değişken cinsinden yazarak gerçek ortalama hızı hesaplamak.

2

Yol bilgisayarının hesapladığı gerçek ortalama hızı (

V_{\text{gerçek}}

)

v_1

cinsinden bulalım.

V_{\text{gerçek}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{360}{t_1 + t_2} = \frac{360}{\frac{180}{v_1} + \frac{90}{v_1}} = \frac{360}{\frac{270}{v_1}} = \frac{360 \cdot v_1}{270} = \frac{4v_1}{3}

olarak bulunur.

Gerçek ortalama hız, toplam mesafenin seyahat süresine bölünmesiyle bulunur.

3

Sürücünün hesapladığı hız ile gerçek hız arasındaki farkı kullanarak bir denklem kuralım ve

v_1

değerini bulalım.

Sürücünün hesapladığı hız:

V_{\text{sürücü}} = \frac{v_1 + 2v_1}{2} = 1,5v_1 = \frac{3v_1}{2}

'dir. İki hız değeri arasındaki fark

10\text{ km/sa}

olduğundan:

\frac{3v_1}{2} - \frac{4v_1}{3} = 10

Paydalar eşitlendiğinde (6'da):

\frac{9v_1 - 8v_1}{6} = 10 \Rightarrow \frac{v_1}{6} = 10 \Rightarrow v_1 = 60\text{ km/sa}

elde edilir.

Sürücünün tahmini ile gerçek değer arasındaki fark ilişkisini kullanarak bilinmeyen hızı çözmek.

4

Bulunan

v_1

değerini yerine yazarak gerçek ortalama hızı hesaplayalım.

V_{\text{gerçek}} = \frac{4 \cdot 60}{3} = 80\text{ km/sa}

bulunur.

Gerçek ortalama hız ifadesinde

v_1

değerini yerine yazarak sonuca ulaşmak.

Key Concept

Ortalama hız, seyahat edilen toplam mesafenin bu seyahatte geçen toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Hızların aritmetik ortalaması, yalnızca süreler eşit olduğunda gerçek ortalama hıza eşit olur.

Estimated Time:2m 0s

Question 103Question →

Aşağıda sol sütunda verilen hareket durumlarını, sağ sütunda verilen doğru hız veya zaman değerleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

İlk hareket durumunun ortalama hızı 96 km/sa ile, ikinci durumdaki yavaş aracın hızı 60 km/sa ile, üçüncü durumdaki karşılaşma süresi ise 4 dakika ile eşleşmektedir.

Eşleştirmelerin tamamı temel hareket formüllerinin (

x = v \cdot t

) ve bu formüllerden türetilen bağıntıların doğru uygulanmasıyla elde edilmiştir. Ortalama hız 96, yavaş olan aracın hızı 60 ve dairesel pistteki karşılaşma süresi 4 olarak hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci durumdaki gidiş-dönüş ortalama hızını bulmak için harmonik ortalama formülünü uygulayınız.

V_{ort} = 96\text{ km/sa}

Gidiş ve dönüş yolları eşit olduğundan, ortalama hız

V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}

formülü ile hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında

V_{ort} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = \frac{19200}{200} = 96

elde edilir.

2

İkinci durumdaki araçların zıt yönlü karşılaşma denklemini kurup yavaş olan aracın hızını (

v

) çözünüz.

v = 60\text{ km/sa}

Birbirine doğru hareket eden araçların hızları toplanır.

\text{Mesafe} = (v_1 + v_2) \cdot t \implies 360 = (v + 2v) \cdot 2 \implies 180 = 3v \implies v = 60

olarak bulunur.

3

Üçüncü durumdaki dairesel pistte zıt yönlü hareket eden koşucuların karşılaşma süresini hesaplayınız.

t = 4\text{ dakika}

Dairesel pist etrafında zıt yönlü harekette karşılaşma süresi

t = \frac{\text{Çevre}}{v_1 + v_2}

formülüyle hesaplanır. Değerler yazıldığında

t = \frac{480}{50 + 70} = \frac{480}{120} = 4

elde edilir.

Key Concept

Hız ve hareket problemlerinde ortalama hız, zıt yönlü doğrusal hareket ve dairesel pistte karşılaşma prensipleri.

Estimated Time:2m 0s

Question 104Question →

Bir kurye, A şehri ile B şehri arasındaki teslimat yolunun bir kısmını saatte sabit $60\text{ km}$ hızla, kalan kısmını ise saatte sabit $90\text{ km}$ hızla giderek tamamlamıştır. Kuryenin bu yolculuk boyunca ortalama hızı saatte $72\text{ km}$ 'dir.

Buna göre, kuryenin saatte $60\text{ km}$ hızla gittiği yolun uzunluğunun, saatte $90\text{ km}$ hızla gittiği yolun uzunluğuna oranı kaçtır?

1

\frac{3}{2}

\frac{2}{3}

\frac{4}{5}

\frac{5}{4}

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Kuryenin saatte 60 km hızla gittiği yolun uzunluğunun, saatte 90 km hızla gittiği yolun uzunluğuna oranı 1'dir.

Ortalama hız formülü (

v_{\text{ort}} = \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2}

) kullanılarak yapılan çözümde

d_1 = d_2

eşitliği elde edilir. Bu durum iki yol bölümünün uzunluklarının eşit olduğunu gösterir. Dolayısıyla bu uzunlukların birbirine oranı 1'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Yolun birinci kısmının uzunluğuna

d_1

, ikinci kısmının uzunluğuna

d_2

diyelim. Bu kısımlarda geçen süreleri sırasıyla

t_1

ve

t_2

olarak tanımlayalım.

t_1 = \frac{d_1}{60}

ve

t_2 = \frac{d_2}{90}

bağıntıları elde edilir.

Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişki olan

t = \frac{d}{v}

formülünü uygulamak için.

2

Ortalama hızın genel formülü olan

v_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

eşitliğini yazıp verilen değerleri yerine yerleştirelim.

72 = \frac{d_1 + d_2}{\frac{d_1}{60} + \frac{d_2}{90}}

denklemi elde edilir.

Tüm seyahatin ortalama hız bilgisini kullanarak yollar arasındaki ilişkiyi kurmak için.

3

Elde edilen denklemde paydadaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim ve sadeleştirme yapalım.

Payda eşitlemesiyle

\frac{d_1}{60} + \frac{d_2}{90} = \frac{3d_1 + 2d_2}{180}

elde edilir. Buradan denklem

72 = \frac{d_1 + d_2}{\frac{3d_1 + 2d_2}{180}} \Rightarrow 72 \cdot \left(\frac{3d_1 + 2d_2}{180}\right) = d_1 + d_2

şekline gelir.

72

ile

180

sayılarını

36

ile sadeleştirdiğimizde

\frac{2}{5}(3d_1 + 2d_2) = d_1 + d_2

olur.

Denklemi çözülebilir doğrusal bir forma getirmek için.

4

Elde edilen sadeleşmiş denklemde içler dışlar çarpımı yaparak benzer terimleri bir araya toplayalım.

2(3d_1 + 2d_2) = 5(d_1 + d_2) \Rightarrow 6d_1 + 4d_2 = 5d_1 + 5d_2 \Rightarrow d_1 = d_2

sonucu bulunur.

d_1

ve

d_2

yolları arasındaki ilişkiyi doğrudan bulmak için.

5

d_1 = d_2

eşitliğini kullanarak

\frac{d_1}{d_2}

oranını hesaplayalım.

\frac{d_1}{d_2} = 1

elde edilir.

Soruda istenen oran değerini bulmak için.

Key Concept

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur; hızların doğrudan veya yollara göre ağırlıklı ortalaması alınamaz.

Question 105Question →

Bir kargo firması, $A$ ve $B$ noktalarındaki dağıtım merkezleri arasında paket taşımak için kendi hızı sabit olan bir dron kullanmaktadır. $A$ noktasından $B$ noktasına doğru sabit hızla rüzgarın estiği bir günde, dronun $A$ 'dan $B$ 'ye gidiş süresi $12$ dakika, $B$ 'den $A$ 'ya rüzgara karşı dönüş süresi ise $20$ dakika sürmüştür.

Dronun kendi hızı ve rüzgarın hızı yol boyunca değişmediğine göre, rüzgarsız bir günde bu dronun $A$ noktasından $B$ noktasına gidiş süresi kaç dakikadır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Rüzgarsız bir günde dronun A noktasından B noktasına gidiş süresi 15 dakikadır.

Dronun rüzgarlı havada giderken rüzgarın hızını arkasına alması (

v_d + v_r

) ve dönerken rüzgara karşı hareket etmesi (

v_d - v_r

) durumları için yazılan denklemler taraf tarafa toplandığında rüzgar hızı elenir. Dronun kendi hızının

v_d = x/15

olduğu bulunur. Buradan rüzgarsız havada yolun tamamını kendi hızıyla

15

dakikada alacağı görülür.

Step-by-Step Solution

1

Dron ve rüzgar hızları ile yol arasındaki ilişkileri belirten hareket denklemlerini kurma.

x = (v_d + v_r) \cdot 12

ve

x = (v_d - v_r) \cdot 20

denklemleri elde edilir.

Hız, yol ve zaman arasındaki temel

x = v \cdot t

ilişkisini kullanarak problemi matematiksel modele dökmek.

2

Elde edilen denklemlerden hız değerlerini

x

cinsinden yazma.

v_d + v_r = \frac{x}{12}

ve

v_d - v_r = \frac{x}{20}

eşitlikleri elde edilir.

Dronun kendi hızını (

v_d

) rüzgar hızından bağımsız olarak bulabilmek için denklemleri düzenlemek.

3

Eşitlikleri taraf tarafa toplayarak rüzgar hızını yok etme ve dronun hızını bulma.

2v_d = \frac{8x}{60} \implies v_d = \frac{x}{15}

olarak bulunur.

Rüzgarsız ortamdaki hareket süresini hesaplamak için dronun kendi hızının yol cinsinden değerine ulaşmak.

4

Bulunan hızı rüzgarsız gün için yol denkleminde yerine yazıp süreyi hesaplama.

t = 15

dakika olarak hesaplanır.

Rüzgarsız ortamdaki hareket denklemi olan

x = v_d \cdot t

ifadesinde süreyi yalnız bırakmak.

Key Concept

Hız problemlerinde rüzgar veya akıntı gibi dış etkenlerin hız vektörüne olan etkisi (bileşke hız kavramı).

Question 106Question →

A ve B iskelelerinden aynı anda sabit hızlarla birbirlerine doğru hareket eden iki vapur, ilk kez A iskelesinden $400\text{ metre}$ uzaklıkta karşılaşmıştır. Karşılaşmadan sonra durmaksızın yollarına devam eden vapurlar, karşı kıyıya ulaştıktan sonra hiç zaman kaybetmeden aynı sabit hızlarla geri dönmüş ve ikinci kez B iskelesinden $300\text{ metre}$ uzaklıkta karşılaşmışlardır.

Buna göre, A ve B iskeleleri arasındaki mesafe kaç metredir?

800

900

750

700

500

Show answer & explanation

Answer: 900

Answer

A ve B iskeleleri arasındaki mesafe 900 metredir.

İki vapur karşılıklı hareket ederek ilk karşılaşmalarında toplam

d

(iskeleler arası mesafe) kadar yol alırlar. A'dan hareket eden vapur bu esnada 400 metre yol almıştır. İkinci karşılaşmalarında ise toplamda

3d

yol almış olurlar. Vapurların hızları sabit olduğundan, ikinci karşılaşmaya kadar geçen süre ilk karşılaşmaya göre 3 kat fazladır. Dolayısıyla A'dan kalkan vapurun aldığı yol da 3 katına çıkarak

3 \times 400 = 1200

metre olur. Bu vapur karşı kıyıya ulaşıp geri döndüğü için aldığı yol

d + 300

metredir.

d + 300 = 1200

denkleminden iskeleler arası mesafe 900 metre olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Vapurların ilk karşılaşmalarına kadar geçen süreyi ve bu sürede aldıkları yolları analiz etme.

İlk karşılaşmada iki vapurun aldığı toplam yol, iskeleler aras�� mesafe olan

d

kadardır. Bu sürede A iskelesinden yola çıkan vapur

400\text{ metre}

yol almıştır.

Karşılıklı hareket eden araçlar ilk kez karşılaşana kadar aralarındaki başlangıç mesafesi kadar toplam yol katederler.

2

İkinci karşılaşmaya kadar geçen toplam süreyi ve bu sürede alınan toplam yolu belirleme.

İki vapur ikinci karşılaşmalarına kadar toplamda

3d

kadar yol almış olurlar. Hızları sabit olduğu için geçen süre ilk karşılaşmaya göre 3 katına çıkar.

Karşı kıyıya ulaşıp geri dönen iki hareketlinin ikinci kez karşılaşabilmesi için toplamda pist uzunluğunun 3 katı kadar yol almaları gerekir.

3

A'dan yola çıkan vapurun ikinci karşılaşmaya kadar aldığı toplam yolu hesaplama.

Süre 3 katına çıktığı için A'dan kalkan vapurun aldığı toplam yol

3 \times 400 = 1200\text{ metre}

olur.

Sabit hızlı bir hareketlinin aldığı yol, geçen zaman ile doğru orantılıdır.

4

A ve B iskeleleri arasındaki mesafeyi (

d

) bulmak için denklem kurma.

A'dan kalkan vapur B iskelesine ulaşıp geri döndüğü ve ikinci karşılaşma B'den

300\text{ metre}

uzakta gerçekleştiği için aldığı yol

d + 300\text{ metre}

olmalıdır. Buradan

d + 300 = 1200

eşitliği kurulur ve

d = 900\text{ metre}

bulunur.

Vapur A'dan B'ye giderek

d

metre, B'den de geri dönüp

300

metre giderek toplamda

d + 300

metre yol katetmiştir.

Key Concept

Karşılıklı hareket eden araçların belirli karşılaşma sayılarına göre aldıkları toplam yolların oranlanması

Alternative Method

Vapurların hızları sırasıyla

v_1

ve

v_2

olsun. İlk karşılaşmada A'dan hareket edenin aldığı yolun B'den hareket edenin aldığı yola oranı

\frac{v_1}{v_2} = \frac{400}{d-400}

olur. İkinci karşılaşmada ise A'dan hareket eden toplam

d+300

metre, B'den hareket eden ise

2d-300

metre yol almıştır. Buradan hızlar oranı

\frac{v_1}{v_2} = \frac{d+300}{2d-300}

şeklinde kurulur. Bu iki oran birbirine eşitlenerek

\frac{400}{d-400} = \frac{d+300}{2d-300}

denklemi elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

800d - 120000 = d^2 - 100d - 120000 \Rightarrow d^2 - 900d = 0

olur.

d \neq 0

olduğundan

d = 900

metre olarak bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 107Question →

Bir sürücü, aracıyla sabit bir hızla hareket ederek belirli bir mesafeyi $6\text{ saatte}$ almayı planlamaktadır.

Buna göre, sol sütunda verilen yolculuk durumlarını sağ sütunda verilen doğru değerlerle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Doğru eşleştirmeler şu şekildedir: Planlanan sürenin yarısında yolun üçte birini giden sürücünün hız oranı 2 olmalıdır; yolun yarısında hızını artıran sürücünün ilk hızı saatte 40 km'dir; yolun üçte birinden sonra hızını iki katına çıkaran sürücünün toplam süresi 4 saattir.

Verilen her üç durum için yol-hız-zaman bağıntısı (

x = v \cdot t

) kullanılarak doğru değerler hesaplanmış ve eşleştirilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci durum için hız oranını hesaplama

Yolun kalan kısmındaki hızın, ilk kısmındaki hıza oranı 2 olarak bulunur.

Süreler eşit (3'er saat) olduğundan, ikinci kısımda gidilen yol (yolun 2/3'ü) ilk kısımda gidilen yolun (yolun 1/3'ü) 2 katıdır. Dolayısıyla hız da 2 katı olmalıdır.

2

İkinci durum için ilk hızı hesaplama

Aracın ilk hızı saatte 40 km olarak hesaplanır.

Yolun ilk yarısı 3 saat sürmüştür. Toplam süre 1 saat azalarak 5 saat olduğuna göre, ikinci yarı 2 saat sürmüştür. Yolun yarıları eşit olduğundan

3v = 2(v+20)

denkleminden

v = 40

bulunur.

3

Üçüncü durum için toplam süreyi hesaplama

Toplam yolculuk süresi 4 saat olarak bulunur.

Yolun ilk 1/3'lük kısmı normal hızla 2 saat sürer. Kalan 2/3'lük kısım normalde 4 saat sürecek olup hız 2 katına çıkarıldığında 2 saat sürer. Toplam süre

2+2=4

saat olur.

Key Concept

Hız, zaman ve mesafe arasındaki doğrusal ve ters orantı ilişkileri.

Question 108Question →

Dairesel bir koşu parkurunda aynı noktadan aynı anda zıt yönlerde sabit hızlarla harekete başlayan Aslı ve Berk ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Aslı'nın ilk hızı dakikada $40\text{ metre}$ , Berk'in ilk hızı dakikada $80\text{ metre}$ dir.
* İkili ilk kez karşılaştıklarında durmaksızın yollarına devam etmişlerdir.
* Karşılaşmadan hemen sonra Aslı hızını $3$ katına çıkarmış, Berk ise hızını yarıya indirmiştir.

Her iki koşucu da başlangıç noktasına ulaştığında hareketini tamamladığına göre, tüm hareketleri boyunca Aslı'nın ortalama hızının Berk'in ortalama hızına oranı kaçtır?

\frac{6}{5}

\frac{4}{3}

\frac{5}{6}

\frac{9}{8}

\frac{3}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{5}$

Answer

Aslı'nın tüm hareketi boyunca ortalama hızının Berk'in tüm hareketi boyunca ortalama hızına oranı

\frac{6}{5}

'tir.

Tüm hareket boyunca Aslı'nın ve Berk'in aldıkları toplam yollar eşittir (her biri tam bir tur atarak

x

kadar yol almıştır). Dolayısıyla ortalama hızlarının oranı, toplam hareket sürelerinin oranının tersidir. Aslı'nın toplam süresi

\frac{x}{72}

, Berk'in toplam süresi ise

\frac{x}{60}

olduğundan, ortalama hızların oranı

\frac{60}{50} = \frac{6}{5}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Pist uzunluğunu

x

cinsinden tanımlayarak Aslı ve Berk'in ilk karşılaşma süresini bulunuz.

Aslı'nın hızı

v_A = 40\text{ m/dk}

ve Berk'in hızı

v_B = 80\text{ m/dk}

olduğundan, zıt yönlü harekette karşılaşma süresi

t_1 = \frac{x}{40 + 80} = \frac{x}{120}

dakikadır.

Karşılaşma anına kadar geçen süreyi ve bu sürede alınan yolları belirlemek için.

2

Karşılaşma anına kadar Aslı ve Berk'in aldıkları yolları hesaplayınız.

Aslı'nın aldığı yol

x_A = 40 \cdot \frac{x}{120} = \frac{x}{3}

, Berk'in aldığı yol ise

x_B = 80 \cdot \frac{x}{120} = \frac{2x}{3}

olur.

Karşılaşmadan sonra başlangıç noktasına dönmek için her birinin katetmesi gereken kalan mesafeleri bulmak için.

3

Karşılaşmadan sonraki hız değişimlerini ve başlangıç noktasına ulaşma sürelerini hesaplayınız.

Aslı hızını 3 katına çıkararak

v'_A = 120\text{ m/dk}

yapar ve kalan

\frac{2x}{3}

yolu

t'_A = \frac{2x/3}{120} = \frac{x}{180}

dakikada tamamlar. Berk hızını yarıya indirerek

v'_B = 40\text{ m/dk}

yapar ve kalan

\frac{x}{3}

yolu

t'_B = \frac{x/3}{40} = \frac{x}{120}

dakikada tamamlar.

Her bir hareketlinin karşılaşma sonrası hareket sürelerini belirlemek için.

4

Toplam hareket sürelerini ve ortalama hızları hesaplayarak oranlayınız.

Aslı'nın toplam süresi

T_A = t_1 + t'_A = \frac{x}{120} + \frac{x}{180} = \frac{5x}{360} = \frac{x}{72}

dakika, Berk'in toplam süresi

T_B = t_1 + t'_B = \frac{x}{120} + \frac{x}{120} = \frac{x}{60}

dakikadır. Ortalama hızlar

V_{ort, A} = \frac{x}{T_A} = 72\text{ m/dk}

ve

V_{ort, B} = \frac{x}{T_B} = 60\text{ m/dk}

bulunur. Oran ise

\frac{72}{60} = \frac{6}{5}

olur.

Tüm hareket boyunca ortalama hızların oranını bulmak için.

Key Concept

Ortalama hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için harcadığı toplam süreye oranıdır (

V_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}}

). Hızların zaman veya mesafe gözetilmeksizin doğrudan aritmetik ortalaması alınamaz.

Question 109Question →

Bir havalimanındaki yürüyen bant ve bu bandı kullanan bir yolcu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bant çalışırken, bant ile aynı yönde sabit h��zla yürüyen yolcu bandın bir ucundan diğer ucuna $24\text{ saniyede}$ ulaşmaktadır.
* Bant çalışmazken, yolcu aynı yürüme hızıyla bandın bir ucundan diğer ucuna $40\text{ saniyede}$ ulaşmaktadır.

Buna g��re, bu yolcu çalışan bant üzerinde hiç yürümeden ayakta durarak bandın bir ucundan diğer ucuna kaç saniyede ulaşır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Yolcu çalışan bant üzerinde hiç yürümeden ayakta durarak bandın bir ucundan diğer ucuna 60 saniyede ulaşır.

Yolcunun yürüme hızı

v_y

ve bandın hızı

v_b

olsun. Yolcu bant çalışmazken tüm yolu

40

saniyede aldığı için yürüme hızı

v_y = \frac{x}{40}

olur. Yolcu bant çalışırken bantla aynı yönde yürüdüğünde tüm yolu

24

saniyede aldığı için toplam hız

v_y + v_b = \frac{x}{24}

olur. Buradan bandın hızı

v_b = \frac{x}{24} - \frac{x}{40} = \frac{x}{60}

olarak hesaplanır. Yolcu hiç yürümediğinde sadece bandın hızıyla hareket edeceğinden, yolculuk süresi

t = \frac{x}{v_b} = 60

saniye sürecektir.

Step-by-Step Solution

1

Yolcunun yürüme hızını ve yürüyen bandın hızını değişkenlerle ifade etme.

Yürüyen bandın uzunluğu

x

, yolcunun yürüme hızı

v_y

ve bandın hızı

v_b

olarak belirlenir.

Hareket denklemlerini kurabilmek için hız ve mesafe değişkenlerini tanımlamak gerekir.

2

Bant çalışmazken yolcunun hareketine ait denklemi kurma.

x = v_y \times 40

buradan

v_y = \frac{x}{40}

elde edilir.

Yolcunun tek başına hızını bandın uzunluğu cinsinden ifade etmek.

3

Bant çalışırken ve yolcu yürürken geçen süreye ait denklemi kurma.

x = (v_y + v_b) \times 24

buradan

v_y + v_b = \frac{x}{24}

elde edilir.

Bantla aynı yönde yürüyen yolcunun toplam hızını belirlemek.

4

Bandın hızını (

v_b

) bant uzunluğu (

x

) cinsinden bulma.

v_b = \frac{x}{24} - v_y = \frac{x}{24} - \frac{x}{40} = \frac{5x - 3x}{120} = \frac{2x}{120} = \frac{x}{60}

elde edilir.

Yolcunun hızını denklemde yerine yazarak bandın hızını tek başına bulmak.

5

Yolcunun bant üzerinde yürümeden, sadece bandın hızıyla hareket ettiği süreyi hesaplama.

t = \frac{x}{v_b} = \frac{x}{\frac{x}{60}} = 60

saniye olarak bulunur.

Yolcu yürümediğinde sadece bandın hızıyla hareket eder ve geçecek süreyi bulmak için yol bandın hızına bölünür.

Key Concept

Yürüyen bant veya nehir akıntısı gibi hareketli zeminlerde bağıl hız hesabı yapılırken, cismin kendi hızı ile zeminin hızı aynı yönlü ise toplanır.

Alternative Method

Yolun uzunluğuna hem 24'e hem de 40'a tam bölünebilen bir sayı (örneğin

120

metre) değerini vererek işlem yapabiliriz. Bu durumda; yolcu bant çalışmazken hızı

v_y = \frac{120}{40} = 3\text{ m/sn}

, bant çalışırken yolcunun toplam hızı

v_y + v_b = \frac{120}{24} = 5\text{ m/sn}

olur. Buradan bandın hızı

v_b = 5 - 3 = 2\text{ m/sn}

bulunur. Yolcu yürümeden sadece bandın üzerinde durduğunda geçecek süre

t = \frac{120}{2} = 60

saniye olarak hesaplanır.

Estimated Time:1m 30s

Question 110Question →

Evinin önünden iş yerine gitmek için doğrusal bir yol boyunca hareket eden Canan, yolun bir kısmını yürüyerek veya koşarak, kalan kısmını ise elektrikli scooter kullanarak tamamlamaktadır.

Canan'ın evi, elektrikli scooter park istasyonu ve iş yeri bu doğrusal yol üzerinde sırasıyla konumlanmıştır. Canan evinden scooter istasyonuna kadar olan kısmı yürürse dakikada $100\text{ metre}$ , koşarsa dakikada $150\text{ metre}$ sabit hızla ilerlemektedir. İstasyon ile iş yeri arasındaki kısmı ise elektrikli scooter ile dakikada $300\text{ metre}$ sabit hızla katetmektedir.

Canan, evinden çıkıp scooter istasyonuna kadar yürüdükten sonra buradan scooter ile iş yerine ulaştığında t��m yolculuğu $20\text{ dakika}$ sürmektedir. Eğer evinden çıkıp scooter istasyonuna kadar koşup ardından yine scooter ile iş yerine ulaşsaydı tüm yolculuğu $18\text{ dakika}$ sürecekti.

Buna göre, Canan'ın evi ile iş yeri arasındaki toplam mesafe kaç kilometredir?

3,0

3,6

4,8

4,0

5,2

Show answer & explanation

Answer: 4,8

Answer

Toplam mesafe 4,8 kilometredir.

Doğru yanıt olan

4,8

km değeri, Canan'ın yürüdüğü durumda geçen süre ile koştuğu durumda geçen süre arasındaki farktan yola çıkılarak bulunur. Koştuğunda yürümesine göre dakikada

50

metre daha hızlı gitmektedir ve bu durum toplam süreyi

2

dakika kısaltmaktadır. Denklem sistemi çözüldüğünde ev-istasyon arası mesafe

600

metre, istasyon-iş yeri arası mesafe

4200

metre olmak üzere toplam mesafe

4800

metre (

4,8

km) olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ev ile scooter istasyonu arasındaki mesafeyi

x

metre, istasyon ile iş yeri arasındaki mesafeyi ise

y

metre olarak tanımlayalım.

Ev-istasyon arası mesafe

= x

metre, istasyon-iş yeri arası mesafe

= y

metre olur.

Değişkenleri belirleyerek sözel ifadeyi matematiksel modele dönüştürmek amacıyla yapılır.

2

Canan'ın ilk durumdaki yürüme ve scooter süresini veren denklemi yazalım: Yürüme hızı dakikada

100

metre, scooter hızı dakikada

300

metredir.

\frac{x}{100} + \frac{y}{300} = 20 \implies 3x + y = 6000

İlk durumdaki toplam yolculuk süresinin

20

dakika olduğunu belirten denklem oluşturulur.

3

İkinci durumdaki koşma ve scooter süresini veren denklemi yazalım: Koşma hızı dakikada

150

metre, scooter hızı dakikada

300

metredir.

\frac{x}{150} + \frac{y}{300} = 18 \implies 2x + y = 5400

İkinci durumdaki toplam yolculuk süresinin

18

dakika olduğunu belirten denklem oluşturulur.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim: Birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım.

(3x + y) - (2x + y) = 6000 - 5400 \implies x = 600\text{ metre}

ve buradan

2(600) + y = 5400 \implies y = 4200\text{ metre}

bulunur.

Ev-istasyon arası ve istasyon-iş yeri arası mesafeleri ayrı ayrı tespit etmek için yapılır.

5

Toplam mesafeyi metre cinsinden hesaplayıp ardından kilometreye dönüştürelim.

x + y = 600 + 4200 = 4800\text{ metre} = 4,8\text{ km}

Soruda istenen toplam mesafeyi kilometre cinsinden bulmak için yapılır.

Key Concept

Hız, zaman ve mesafe arasındaki doğrusal ilişki ile denklem kurma problemleri.

Question 111Question →

Aşağıda hız ve hareket problemleriyle ilgili verilen durumları, bu durumların gerçekleşmesi için geçen sürelerle (saat cinsinden) eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Birinci durum

2.5

değeriyle, ikinci durum

3

değeriyle, üçüncü durum ise

3.5

değeriyle eşleşir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda birinci durum

2.5

değeriyle, ikinci durum

3

değeriyle ve üçüncü durum

3.5

değeriyle tam olarak eşleşmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci durum için zıt yönlü hareket bağıntısını kullanarak süreyi hesaplamak

Süre

2.5\text{ saat}

bulunur.

Birbirinden uzaklaşan araçlar arasındaki mesafe

x = (V_1 + V_2) \cdot t

formülüyle bulunur. Burada

350 = (60 + 80) \cdot t

denkleminden

t = 2.5\text{ saat}

elde edilir.

2

İkinci durum için akıntıya karşı hareket bağıntısını kullanarak süreyi hesaplamak

Süre

3\text{ saat}

bulunur.

Akıntıya karşı hareket edilirken motorun net hızı

V_{\text{net}} = V_{\text{motor}} - V_{\text{akıntı}}

olur. Buradan

V_{\text{net}} = 24 - 6 = 18\text{ km/sa}

bulunur. Süre ise

t = \frac{54}{18} = 3\text{ saat}

olarak hesaplanır.

3

Üçüncü durum için sürüş ve mola sürelerinin toplamını hesaplamak

Toplam süre

3.5\text{ saat}

bulunur.

Aracın mola vermeden gitmesi durumunda sürüş süresi

\frac{240}{80} = 3\text{ saat} = 180\text{ dakikadır}

. Araç her

50\text{ dakikalık}

sürüşten sonra

10\text{ dakika}

mola verdiğine göre,

180\text{ dakikalık}

toplam sürüşün

50

. dakikasında,

100

. dakikasında ve

150

. dakikasında olmak üzere toplam

3

defa mola verilir. Toplam geçen süre

180\text{ dakika sürüş} + 30\text{ dakika mola} = 210\text{ dakika} = 3.5\text{ saat}

olur.

Key Concept

Hız, zaman ve yol arasındaki temel doğrusal ilişkilerin farklı senaryolara (zıt yönlü hareket, akıntıya karşı hareket ve molalı hareket) uygulanması.

Question 112Question →

Bir kargo firması kuryesi olan Ahmet, A kentinden B kentine teslimat yapmak üzere yola çıkmıştır. Ahmet, bu iki kent arasındaki yolun ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $120\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir. B kentine ulaştıktan sonra hiç durmadan aynı yol üzerinden saatte $V\text{ km}$ sabit hızla A kentine geri dönmüştür.

Ahmet'in bu gidiş-dönüş yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte $96\text{ km}$ olduğuna göre, dönüş hızı olan $V$ kaçtır?

60

102

120

108

112

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Dönüş hızı olan

V

değeri 120 olarak bulunur.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Gidiş süresi yolun iki yarısı için ayrı ayrı hesaplandığında toplam gidiş süresi

x/40

saat, dönüş süresi ise

2x/V

saat olur. Toplam yol olan

4x

km, toplam süreye bölünerek ortalama hız olan

96

km/sa değerine eşitlendiğinde dönüş hızı olan

V

değeri

120

km/sa olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Gidiş yolculuğunun toplam süresini belirlemek için yolun iki yarısındaki süreleri

x

cinsinden yazalım.

Yolun ilk yarısı için süre

t_1 = \frac{x}{60}

saat, ikinci yarısı için süre

t_2 = \frac{x}{120}

saattir. Toplam gidiş süresi:

t_{\text{gidiş}} = \frac{x}{60} + \frac{x}{120} = \frac{2x + x}{120} = \frac{3x}{120} = \frac{x}{40}

saat olur.

Hız ve zaman arasındaki temel ilişki

t = \frac{\text{yol}}{\text{hız}}

formülüyle ifade edilir.

2

Dönüş yolculuğunun süresini

x

ve

V

cinsinden ifade edelim.

Dönüş yolu da

2x

km olduğundan, dönüş süresi

t_{\text{dönüş}} = \frac{2x}{V}

saat olur.

Ahmet aynı yol üzerinden geri döndüğü için dönüş mesafesi, gidişteki toplam yol uzunluğuna yani

2x

km'ye eşittir.

3

Ortalama hız formülünü kullanarak

V

değerini bulalım.

Toplam yol

2x + 2x = 4x

km ve toplam süre

\frac{x}{40} + \frac{2x}{V}

saattir. Ortalama hız

96\text{ km/sa}

olduğuna göre:

\frac{4x}{x \left(\frac{1}{40} + \frac{2}{V}\right)} = 96 \implies \frac{4}{\frac{1}{40} + \frac{2}{V}} = 96 \implies \frac{1}{40} + \frac{2}{V} = \frac{1}{24}

Buradan,

\frac{2}{V} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5 - 3}{120} = \frac{2}{120} \implies V = 120\text{ km/sa}

bulunur.

Ortalama hız, toplam alınan yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle hesaplanır (

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}}

).

Key Concept

Ortalama Hız

Estimated Time:2m 0s

Question 113Question →

Bir metro hattında, A ve B istasyonları arasındaki doğrusal yol boyunca hareket eden bir trenin normal şartlarda hızı sabit ve $80\text{ km/sa}$ 'tir. Bir gün, bu iki istasyon arasındaki yolun belirli bir kısmında yürütülen bakım çalışması nedeniyle, tren bu çalışma bölgesinden geçerken hızını $30\text{ km/sa}$ değerine düşürmüştür. Çalışma bölgesinin dışındaki yollarda ise yine normal hızı olan $80\text{ km/sa}$ ile gitmiştir. Bu bakım çalışmasından dolayı trenin A istasyonundan B istasyonuna var��ş süresi normal süresine göre $5\text{ dakika}$ geciktiğine göre, bakım çalışması yapılan bölgenin uzunluğu kaç kilometredir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Bakım çalışması yapılan bölgenin uzunluğu 4 kilometredir.

Bakım yapılan yolun uzunluğuna x km dersek, bu bölgedeki yavaşlama nedeniyle geçen süre (x/30 saat) ile normalde geçmesi gereken süre (x/80 saat) arasındaki fark trenin toplam gecikmesine (1/12 saat) eşittir. Denklem çözüldüğünde yolun uzunluğu 4 km olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Gecikme süresini saat birimine dönüştürün.

5\text{ dakika} = \frac{5}{60}\text{ saat} = \frac{1}{12}\text{ saat}

Hızlar saatteki kilometre (km/sa) cinsinden verildiği için zaman biriminin de saat olması gerekir.

2

Bakım çalışması yapılan yolun normal şartlardaki geçiş süresini yazın.

t_{\text{normal}} = \frac{x}{80}\text{ saat}

Zaman = Yol / Hız formülüne göre, normal hızla bu yolun alınma süresi hesaplanır.

3

Bakım çalışması yapılan yolun çalışma esnasındaki yavaş geçiş süresini yazın.

t_{\text{çalışma}} = \frac{x}{30}\text{ saat}

Çalışma bölgesindeki hız

30\text{ km/sa}

olarak verilmiştir.

4

Gecikme miktarını veren zaman denklemini kurun.

\frac{x}{30} - \frac{x}{80} = \frac{1}{12}

Yavaş hızla geçen süre ile normal süre arasındaki fark trenin toplam gecikme süresine eşittir.

5

Denklemi paydaları eşitleyerek çözün ve x değerini bulun.

x = 4

240

paydasında eşitlendiğinde

\frac{8x - 3x}{240} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{5x}{240} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{x}{48} = \frac{1}{12} \Rightarrow x = 4

elde edilir.

Key Concept

Hız, yol ve zaman arasındaki temel oran-orantı ilişkisi ile birimlerin birbirine uyumlu hale getirilmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 114Question →

Durgun sudaki hızı saatte $8\text{ km}$ olan bir elektrikli tekne, akıntı hızının saatte $4\text{ km}$ olduğu doğrusal bir nehirde A noktasından B noktasına akıntıyla aynı yönde gitmiş ve hiç durmadan B noktasından A noktasına geri dönmüştür. Teknenin gidiş-dönüş yolculuğu toplam $4\text{ saat}$ sürdüğüne göre, A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

6

8

12

16

24

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

A ile B noktaları arasındaki uzaklık 12 kilometredir.

Doğru cevaba ulaşmak için teknenin akıntı yönündeki gidiş hızı ile akıntıya karşı dönüş hızı belirlenir. Gidiş hızı saatte

12\text{ km}

, dönüş hızı saatte

4\text{ km}

'dir. A ile B arasındaki mesafeye

d

denildiğinde, gidiş süresi

\frac{d}{12}

saat, dönüş süresi ise

\frac{d}{4}

saat olur. Toplam süre

4\text{ saat}

olduğu için

\frac{d}{12} + \frac{d}{4} = 4

denklemi kurulur. Paydalar eşitlendiğinde

\frac{4d}{12} = 4

elde edilir ve buradan tek yönlü mesafe

12\text{ km}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Teknenin gidiş (akıntı yönündeki) ve dönüş (akıntıya karşı) hızları hesaplanır.

Gidiş hızı:

v_{\text{gidiş}} = 8 + 4 = 12\text{ km/sa}

, Dönüş hızı:

v_{\text{dönüş}} = 8 - 4 = 4\text{ km/sa}

olur.

Akıntı yönünde giderken akıntı hızı teknenin hızına eklenir; dönüşte ise akıntıya karşı hareket edildiğinden akıntı hızı teknenin hızından çıkarılır.

2

A ile B arasındaki mesafeye

d

denilerek gidiş ve dönüş süreleri yazılır.

Gidiş süresi:

t_1 = \frac{d}{12}

saat, Dönüş süresi:

t_2 = \frac{d}{4}

saat olur.

Zaman = \frac{Yol}{Hız}

formülü kullanılarak süreler mesafe cinsinden ifade edilir.

3

Toplam süre denklemi kurularak çözülür.

t_1 + t_2 = 4 \implies \frac{d}{12} + \frac{d}{4} = 4 \implies \frac{4d}{12} = 4 \implies d = 12\text{ km}

bulunur.

Toplam seyahat süresi

4\text{ saat}

olarak verildiğinden, iki yöndeki sürelerin toplamı

4

'e eşitlenir.

Key Concept

Akıntı problemlerinde bileşke hız hesaplama ve hız-zaman ilişkisi

Estimated Time:2m 0s

Hız ve Hareket Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes