Tek ve Çift Sayılar Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 4

Question 61Question →

a

,

b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

(a + b) \cdot (b + c)

ifadesinin bir çift sayı,

b + c

ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $a \cdot c$
II. $c \cdot (a + b)$
III. $a^c + b$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Verilen bilgilere göre,

(a+b)(b+c)

çift ve

(b+c)

tek olduğundan,

(a+b)

toplamı kesinlikle çifttir. Buradan

a

ve

b

tam sayılarının aynı işaretli pariteye sahip olduğu (ikisi de tek veya ikisi de çift) sonucu çıkar. Diğer taraftan,

(b+c)

tek sayı olduğu için

b

ve

c

farklı paritelere sahiptir. Bu ilişkilerden yola çıkarak

a

ve

c

sayılarının da farklı paritelere sahip olduğu bulunur; yani biri tek iken diğeri çift olmak zorundadır. Bu bilgiler ışığında: I. öncüldeki

a \cdot c

ifadesinde çarpanlardan biri çift olduğundan sonuç daima çift tam sayıdır. II. öncüldeki

c \cdot (a+b)

ifadesinde

(a+b)

bir çift tam sayı olduğundan ve çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı daima çift olduğundan sonuç her zaman çifttir. Dolayısıyla, I ve II öncüllerini barındıran seçenek doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen iki ifadenin çarpım ve toplam özelliklerini kullanarak (a + b) toplamının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

(a + b)

ifadesi çift tam sayıdır.

(a + b) \cdot (b + c)

çarpımı bir çift sayıdır ve çarpanlardan biri olan

(b + c)

tek sayıdır. Çarpımın çift sayı olabilmesi için diğer çarpan olan

(a + b)

ifadesinin kesinlikle çift sayı olması gerekir.

2

Değişkenlerin kendi aralarındaki teklik-çiftlik (parite) ilişkilerini incelemek.

a

ile

b

aynı paritede,

b

ile

c

farklı paritede, dolayısıyla

a

ile

c

farklı paritededir.

(a + b)

çift olduğundan

a

ve

b

ya ikisi de tek ya da ikisi de çifttir.

(b + c)

tek olduğundan

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu iki durum birleştirildiğinde,

a

ve

c

sayılarından birinin tek, diğerinin ise kesinlikle çift olduğu anlaşılır.

3

Elde edilen bilgilere göre öncülleri tek tek değerlendirmek.

I. öncül (

a \cdot c

) daima çift, II. öncül (

c \cdot (a + b)

) daima çift, III. öncül (

a^c + b

) her zaman çift değildir.

I.

a

ve

c

sayılarından biri çift olduğundan çarpımları olan

a \cdot c

her zaman çifttir. II.

(a + b)

çift bir tam sayı ve

c

de bir tam sayı olduğundan,

c \cdot (a + b)

çarpımı her zaman çifttir. III.

c

negatif bir tam sayı olabileceğinden (örneğin

c = -1

,

a = 2

,

b = 3

için

2^{-1} + 3 = 3.5

rasyonel sayısı elde edilir), teklik veya çiftlikten bahsedilemez.

Key Concept

Tek ve çift tam sayılarda işlemler ve negatif üs durumunda teklik-çiftlik kavramının incelenmesi.

Question 62Question →

$a$ ve $b$ birer tam sayı olmak üzere,

3a + 4b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a + 5

a + b

a^b

a \cdot b + 1

b^2 + a

Show answer & explanation

Answer: $a + 5$

Answer

a + 5 ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

a sayısının tek bir tam sayı olduğu belirlendikten sonra, tek bir sayı ile tek bir sayı olan 5 sayısının toplamı her zaman çift bir sayıya eşit olacaktır. Dolayısıyla a + 5 ifadesi her zaman çift bir tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadenin bileşenlerini incelemek

4b ifadesi, b bir tam sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır.

Bir tam sayının çift bir sayı olan 4 ile çarpımı her zaman çifttir.

2

a sayısının tekliğini/çiftliğini belirlemek

3a + 4b ifadesinin tek sayı olabilmesi için 3a ifadesinin tek sayı, dolayısıyla a sayısının tek sayı olması gerekir.

Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı tek sayı sonucunu verir.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift olup olmadığını test etmek

a tek sayı olduğundan, a + 5 (tek + tek) toplamı her zaman çift tam sayıdır. Diğer seçenekler b'nin değerine veya işaretine bağlı olarak her zaman çift sayı belirtmez.

Her zaman doğru olan seçeneği belirlemek ve diğer seçeneklere karşıt örnekler sunmak.

Key Concept

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri

Estimated Time:1m 0s

Question 63Question →

a

,

b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

a \cdot b + c

ve

a + b \cdot c

sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $a \cdot c + b$
II. $b \cdot (a + c)$
III. $b^a + c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Verilen bilgilere göre

b

sayısının çift sayı olduğu ve

a

ile

c

sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu sonucuna ulaşılır. Buradan hareketle

a \cdot c

çarpımı çift olur ve

a \cdot c + b

toplamı da çift sayı olur. Benzer şekilde,

b

çift sayı olduğundan

b \cdot (a + c)

çarpımı da her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

b

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

b

sayısı kesinlikle çift sayıdır.

Eğer

b

tek sayı olsaydı, hem

a \cdot b + c

hem de

a + b \cdot c

ifadesi

a + c

toplamına eşit olurdu. Bu durumda iki ifadenin de teklik-çiftlik karakteri aynı olurdu (ikisi de aynı anda tek veya çift olurdu). Ancak soruda birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla

b

tek sayı olamaz, çift sayı olmak zorundadır.

2

a

ve

c

sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

a

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.

b

çift sayı olduğuna göre,

a \cdot b + c

ifadesinin teklik-çiftlik durumu

c

sayısının durumuna;

a + b \cdot c

ifadesinin durumu ise

a

sayısının durumuna bağlıdır. İki ifadenin teklik-çiftlik durumu farklı olduğuna göre,

a

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır. Bu durumda

a \cdot c

çarpımı her zaman çift sayı olur.

3

Öncülleri tek tek değerlendirmek.

I. öncül (

a \cdot c + b

) çift sayıdır; II. öncül (

b \cdot (a + c)

) çift sayıdır; III. öncül (

b^a + c

) her zaman çift sayı değildir.

I. öncülde

a \cdot c

çift,

b

de çift olduğundan toplamları çift sayıdır. II. öncülde

b

çift sayı olduğundan, bir çift sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir. III. öncülde

a

negatif bir tek sayı (örneğin

-1

) ve

b = 2

,

c = 4

seçilirse

b^a + c = 2^{-1} + 4 = 4.5

olur ki bu bir tam sayı bile değildir. Dolayısıyla her zaman çift sayı olamaz.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulu.

Question 64Question →

x

,

y

ve

z

tam sayıları için

(x - y) \cdot (y - z)

çarpımının bir tek sayıya eşit olduğu biliniyor.
Buna göre;
I.

x \cdot z + y

II.

x^y + z

III.

x \cdot y \cdot z

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıya eşittir?

Yalnız II

Yalnız III

Yalnız I

I ve II

I ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I

Doğru cevap olan 'Yalnız I' seçeneği, y değişkeninin tek veya çift olduğu her iki durumda da tek sayı verir. y çift iken x ve z tek olup çarpımları tek, çift olan y ile toplamları yine tek olur. y tek iken x ve z çift olup çarpımları çift, tek olan y ile toplamları yine tek olur.

Step-by-Step Solution

1

Çarpım ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpanların karakterini belirlemek.

(x - y)

ve

(y - z)

ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

Farkların tek sayı olmasından yola çıkarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını sınıflandırmak.

1. Durum:

y

çift ise

x

tek ve

z

tek olmalıdır. 2. Durum:

y

tek ise

x

çift ve

z

çift olmalıdır. Her iki durumda da

x

ve

z

değişkenleri aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.

İki tam sayının farkının tek olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

3

Elde edilen iki durumu öncüllerde yerine koyarak her zaman tek sayı veren ifadeyi bulmak.

I. öncül (

x \cdot z + y

) her iki durumda da (tek

\cdot

tek + çift = tek veya çift

\cdot

çift + tek = tek) tek sayı verir. II. öncülde

y

negatif (örneğin -1) alınırsa ifade rasyonel sayı olur ve teklik-çiftlik aranmaz;

y = 0

alınırsa ve

z

tek iken sonuç çift olur. III. öncül her zaman çift sayı olur.

Değişkenlerin tam sayı olduğu belirtildiğinden negatif veya sıfır olma durumları da dahil tüm ihtimaller test edilmelidir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Question 65Question →

Bir kafede bulunan $a$ tane masanın her birinde $b$ adet sandalye vard��r. Bu kafedeki toplam sandalye sayısı çift bir sayıdır. Kafeye sonradan, her birinde $c$ adet sandalye bulunan 3 masa daha yerleştirildiğinde kafedeki toplam sandalye sayısı tek bir sayı olmaktadır.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayıları için aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

a + b + c

a \cdot c + b

(a + c) \cdot (b + c)

c^a + c^b

b^c + a

Show answer & explanation

Answer: $c^a + c^b$

Answer

Tabanları tek sayı olan ve pozitif tam sayı kuvvetleri alınan iki ifadenin toplamını belirten ifade her zaman çift sayıdır.

c

sayısı tek bir sayıdır.

a

ve

b

sayıları pozitif tam sayılar olduğu için, tek bir sayının tüm pozitif tam sayı kuvvetleri yine tek sayı olacaktır. Dolayısıyla

c^a

ve

c^b

ifadeleri birer tek sayıdır. İki tek sayının toplamı olan

c^a + c^b

ifadesi ise her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki sandalye sayısı ile son durumdaki sandalye sayısı arasındaki ilişkiyi yazma.

Kafedeki başlangıçtaki toplam sandalye sayısı

a \cdot b

çift sayıdır. Eklenen sandalye sayısı

3c

olup, son durumdaki toplam sandalye sayısı

a \cdot b + 3c

tek sayıdır.

Soru metnindeki sözel bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürmek için.

2

c

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme.

a \cdot b

çift sayı olduğundan,

a \cdot b + 3c

toplamının tek sayı olabilmesi için

3c

ifadesinin tek sayı olması gerekir. Buradan

c

sayısının kesinlikle tek sayı olduğu sonucuna varılır.

Toplama işleminde çift sayı ile tek sayının toplamının tek sayı olduğunu kullanmak için.

3

a

ve

b

sayılarının teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.

a \cdot b

çarpımı çift sayı olduğundan,

a

ve

b

sayılarından en az biri çift sayıdır. Yani; biri tek biri çift veya her ikisi de çift olabilir.

Seçenekleri değerlendirirken

a

ve

b

için tüm olası durumları göz önünde bulundurmak için.

4

c^a + c^b

ifadesinin teklik-çiftlik durumunu inceleme.

c

tek sayı olduğundan ve

a

ile

b

pozitif tam sayılar olduğundan, tek bir sayının pozitif tam sayı kuvvetleri de daima tektir. Dolayısıyla

c^a

tektir ve

c^b

tektir. İki tek sayının toplamı (

c^a + c^b

) her zaman çift sayıdır.

Doğru seçeneğin her durumda çift sayı olduğunu kanıtlamak için.

Key Concept

Tek ve çift sayıların özellikleri ve pozitif tam sayı kuvvetlerinin paritesi

Question 66Question →

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için
* $a + b \cdot c$ ifadesinin bir tek sayıya,
* $a \cdot b + c$ ifadesinin bir tek sayıya
eşit olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a - b

a \cdot c + b

a + b + c

a^b + c

b^c + a

Show answer & explanation

Answer: $a + b + c$

Answer

Verilen koşulları sağlayan durumlarda

a

,

b

ve

c

tam sayılarından tam olarak biri çift sayı, diğer ikisi ise tek sayıdır. Bu nedenle bu üç sayının toplamı olan

a + b + c

ifadesi her zaman çift bir sayıdır.

Verilen iki ifadenin tek sayı olması durumları incelendiğinde,

a

,

b

ve

c

sayılarından tam olarak birinin çift ve diğer ikisinin tek olduğu görülür. Bir çift sayı ile iki tek sayının toplamı olan üçlü toplam ifadesi her zaman çift bir sayı sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1

a + b \cdot c

ve

a \cdot b + c

ifadelerinin tek sayı olması durumlarını incelemek için

a

sayısının çift olduğu durumu ele alalım.

a

çift say�� ise,

a + b \cdot c

ifadesinin tek sayı olması için

b \cdot c

çarpımı tek sayı olmalıdır. Buradan

b

ve

c

sayılarının her ikisi de tek sayıdır. Bu durumda

a \cdot b + c

ifadesi de (çift

\cdot

tek) + tek = çift + tek = tek sayı olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.

a

sayısının çift olması durumunda diğer değişkenlerin alması gereken değerleri belirlemek.

2

a

sayısının tek sayı olduğu durumları ele alalım.

a

tek sayı ise,

a + b \cdot c

ifadesinin tek sayı olması için

b \cdot c

çarpımı çift sayı olmalıdır. Bu da

b

veya

c

sayılarından en az birinin çift sayı olmasını gerektirir.

a \cdot b + c

ifadesinin tek sayı olması için de

a \cdot b

ile

c

ifadelerinden biri çift diğeri tek olmalıdır. Buradan ya

b

çift

c

tek, ya da

b

tek

c

çift olur.

a

sayısının tek olması durumunda diğer değişkenlerin alması gereken değerleri belirlemek.

3

Elde edilen tüm durumları teklik-çiftlik tablosu yardımıyla inceleyip seçenekleri değerlendirelim.

Belirlenen üç olası durumda da (

a

çift,

b

tek,

c

tek veya

a

tek,

b

çift,

c

tek veya

a

tek,

b

tek,

c

çift) sayılardan tam olarak bir tanesi çift sayı, diğer iki tanesi ise tek sayıdır. Bu durumların hepsinde

a + b + c

toplamı iki tek ve bir çift sayının toplamı olacağından sonuç daima çift sayıdır.

Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift sayı olup olmadığını teyit etmek.

Key Concept

Tam sayıların teklik ve çiftlik özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.

Question 67Question →

$a$ , $b$ ve $c$ birer tam sayı olmak üzere,

a^2 \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. $a + b + c$
II. $a \cdot c + b$
III. $a \cdot b \cdot c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III

Verilen

a^2 \cdot b + b \cdot c

ifadesi

b

ortak parantezine alındığında

b \cdot (a^2 + c)

elde edilir. Bu çarpım tek sayı olduğundan, hem

b

hem de

a^2 + c

tek sayı olmak zorundadır.

a^2

ifadesinin teklik-çiftlik durumu

a

ile aynı olduğundan,

a + c

toplamı da tek sayıdır. Bir toplamın tek sayı olması, terimlerden birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Yani

a

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu bilgiler doğrultusunda öncüller incelendiğinde; I. öncüldeki

a + b + c

ifadesi

(a + c) + b

şeklinde düşünülebilir. Tek sayı olan

a + c

ile tek sayı olan

b

toplandığında sonuç çift sayı olur (Her zaman doğru). II. öncüldeki

a \cdot c + b

ifadesinde,

a

ve

c

sayılarından biri çift olduğundan

a \cdot c

çarpımı çifttir. Çift bir sayıya tek olan

b

eklendiğinde sonuç tek sayı olur (Her zaman yanlış). III. öncüldeki

a \cdot b \cdot c

ifadesinde, çarpanlardan biri (

a

veya

c

) çift olduğundan çarpım her zaman çift sayıdır (Her zaman doğru). Bu nedenle doğru öncüller I ve III'tür.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine almak

b \cdot (a^2 + c)

ifadesi elde edilir.

Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik analizini daha kolay yapabilmek için.

2

Çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz etmek

b

tek sayıdır ve

a^2 + c

tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

3

Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek

b

tek sayıdır.

a^2

ile

a

aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olduğundan,

a^2 + c

ifadesinin tek olması

a + c

ifadesinin de tek olmasını gerektirir. Bu durumda

a

ve

c

sayılarından biri tek sayı iken diğeri çift sayıdır.

Toplamları tek olan iki tam sayıdan birinin çift, diğerinin tek olması gerektiği kuralından dolayı.

4

Öncülleri tek tek değerlendirmek

I. ifadede

(a + c)

tek ve

b

tek olduğundan toplamları çifttir. II. ifadede

a \cdot c

çift (biri çift olduğundan) ve

b

tek olduğundan toplamları tektir. III. ifadede

a

veya

c

sayılarından biri çift olduğundan çarpımları çifttir.

Her bir öncülün her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini kesinleştirmek için.

Key Concept

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri, ortak paranteze alma ve toplama/çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik üzerindeki etkileri.

Question 68Question →

Bir tiyatro salonunda $a$ tane sıranın her birinde $b$ adet koltuk olmak üzere toplam $a \cdot b$ adet koltuk vardır. Bu koltukların tamamı doludur ve koltuklarda oturan seyircilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki kadın seyirci sayısı $c$ adettir.
* Salondaki erkek seyirci sayısı, kadın seyirci sayısının 3 katından 5 fazladır.

Buna göre;

I. $a^b + b^a$
II. $a^c + b$
III. $c^a + b$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Toplam koltuk sayısı olan

a \cdot b

, kadın ve erkek seyircilerin toplamı olan

4c + 5

ifadesine eşittir.

4c + 5

ifadesi her zaman tek sayı olduğundan

a \cdot b

çarpımı tektir. Bu durum

a

ve

b

sayılarının her ikisinin de tek sayı olmasını gerektirir. Birinci öncülde tabanlar tek, üsler pozitif tam sayı olduğundan üslü ifadeler tek sayılardır; toplamları çift olur. İkinci öncülde

a

tek olduğundan

c

doğal sayısı için

a^c

her zaman tektir; tek olan

b

ile toplamı çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Salondaki toplam seyirci sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.

Kadın seyirci sayısı

c

ise erkek seyirci sayısı

3c + 5

olur. Toplam seyirci sayısı

c + (3c + 5) = 4c + 5

olarak bulunur.

Toplam koltuk sayısının seyirci sayısına eşitliğini kullanarak değişkenler arasında bir bağıntı elde etmek için.

2

Elde edilen bağıntı yardımıyla a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.

a \cdot b = 4c + 5

eşitliğinde,

c

bir doğal sayı olduğundan

4c

çift sayıdır. Çift bir sayı ile tek sayı olan 5'in toplamı tek olacağından

a \cdot b

çarpımı tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan

a

ve

b

sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu sonucu çıkar.

Üslü ifadeleri değerlendirebilmek amacıyla tabanların teklik veya çiftlik durumlarını saptamak için.

3

c sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.

a \cdot b = 4c + 5

eşitliğinde

c

değeri tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin,

a=3, b=3

için

9 = 4c+5 \implies c=1

(tek) iken

a=3, b=7

için

21 = 4c+5 \implies c=4

(çift) olur. Dolayısıyla

c

sayısı hakkında kesin bir şey söylenemez.

Tabanı veya üssü c olan öncüllerin genel geçerliliğini test etmek için.

4

Verilen öncülleri teker teker analiz edelim.

I.

a^b + b^a

ifadesinde

a

ve

b

pozitif tam sayılardır (

a \ge 1, b \ge 1

). Tek sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağından

a^b

ve

b^a

tek sayılardır. İki tek sayının toplamı (

Tek + Tek

) her zaman çift sayıdır. II.

a^c + b

ifadesinde

a

tek sayıdır.

c

doğal sayı olduğundan

c=0

için

a^0 = 1

(tek) ve

c \ge 1

için

a^c

tektir. Dolayısıyla

a^c

her koşulda tektir. Tek olan

a^c

ile tek olan

b

sayısının toplamı (

Tek + Tek

) her zaman çift sayıdır. III.

c^a + b

ifadesinde

c

çift sayı ise

c^a

çift sayı (çünkü

a \ge 1

), toplam

Çift + Tek = Tek

olur. Bu durumda her zaman çift sayı olmaz.

Her bir öncülün teklik-çiftlik durumunun kesinliğini belirlemek için.

Key Concept

Cebirsel ifadelerde ve üslü sayılarda teklik-çiftlik kuralları, taban ve üs ilişkileri.

Question 69Question →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları ile ilgili öğrencilerine şu bilgileri vermiştir:

* $a + 5b$ toplamı bir çift sayıdır.
* $b \cdot c$ çarpımı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

a^b + c

b^c + a

a \cdot b + c

a + b + c

a \cdot b \cdot c

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot b + c$

Answer

a \cdot b + c

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Tek sayıların çarpımı tek, toplamı ise çifttir.

a

ve

b

tek sayı olduğundan

a \cdot b

tek sayıdır. Bu tek sayıya tek olan

c

sayısı eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1

b \cdot c

çarpımının tek sayı olma durumunu inceleyin.

b

ve

c

sayılarının her ikisi de tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.

2

a + 5b

toplamının çift say�� olma durumunu inceleyin.

a

sayısı tek sayıdır.

b

tek sayı olduğundan

5b

de tek sayıdır. Toplamın çift sayı olması için

a

sayısının da tek sayı olması gerekir.

3

a \cdot b + c

ifadesinin tekliğini veya çiftliğini belirleyin.

a \cdot b + c

her zaman çift sayıdır.

a

ve

b

tek sayı olduğundan

a \cdot b

çarpımı tek sayıdır. Tek sayı olan

a \cdot b

ile tek sayı olan

c

toplandığında sonuç çift sayı olur.

Key Concept

Tek ve çift sayıların temel toplama ve çarpma özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.

Estimated Time:1m 30s

Question 70Question →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a \cdot (b + c)

ve

b \cdot (a + c)

ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu biliniyor.

Buna göre;
I. $a + b + c$
II. $a \cdot b \cdot c$
III. $c^a + c^b$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur.

a \cdot (b+c)

ve

b \cdot (a+c)

ifadelerinden biri tek, diğeri çift ise, durum analizi yapıldığında

c

sayısının tek sayı olduğu,

a

ve

b

sayılarından birinin tek, diğerinin ise çift sayı olduğu görülür. Bu durumda, bir tek ve bir çift sayının toplamı tek olacağından

a+b

tektir; tek olan

c

sayısı eklendiğinde

a+b+c

toplamı her zaman çift olur. Ayrıca

a

ve

b

sayılarından biri çift olduğundan

a \cdot b \cdot c

çarpımı da her zaman çifttir. Üçüncü ifade olan

c^a + c^b

ifadesinde ise üsler negatif tam sayı olabileceğinden her zaman çift sayı olmaz.

Step-by-Step Solution

1

İfadelerin teklik-çiftlik durumlarının analiz edilmesi

a \cdot (b + c)

ve

b \cdot (a + c)

ifadelerinin pariteleri incelenir. İfadelerden biri tek, diğeri çift olmalıdır. Eğer bir çarpım tek ise çarpanların her ikisi de tek olmalıdır.

Çarpımın teklik-çiftlik kurallarını uygulamak için.

2

Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarının belirlenmesi

Eğer

a \cdot (b + c)

tek ise

a

tek ve

b + c

tektir.

b + c

tek ise

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çifttir.

b

çift ve

c

tek olduğunda

b \cdot (a + c)

çift olur ve koşul sağlanır. Tüm durumlar tarandığında

c

kesinlikle tek sayı,

a

ve

b

sayılarından biri tek diğeri çift sayı olmalıdır.

Soruda verilen koşulu sağlayan durumları tespit etmek için.

3

Öncüllerin her zaman çift olup olmadığının kontrol edilmesi

I.

a + b + c = \text{Tek} + \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Çift}

(Her zaman çift).
II.

a \cdot b \cdot c = \text{Tek} \cdot \text{Çift} \cdot \text{Tek} = \text{Çift}

(Her zaman çift).
III.

c^a + c^b

ifadesinde

a

ve

b

negatif olabileceğinden (örneğin

a = -2, b = 1, c = 3

için

3^{-2} + 3^1 = 28/9

rasyonel sayıdır) teklik-çiftlikten bahsedilemez (Her zaman çift değildir).

Doğru öncülleri belirlemek için.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem ve Üs Alma Kuralları

Question 71Question →

Bir sinema salonundaki A, B ve C sıralarında sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ adet koltuk bulunmaktadır. Bu sıralardaki koltuk sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A sırasındaki koltuk sayısı ile B ve C sıralarındaki koltuk sayılarının toplamının çarpımı bir çift sayıdır.
* A sırasındaki koltuk sayısı ile B ve C sıralarındaki koltuk sayıların��n çarpımının toplamı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

a + b

b + c

a + b + c

a \cdot b + c

a \cdot c + b

Show answer & explanation

Answer: $b + c$

Answer

b + c ifadesi her iki durumda da çift sayıya eşittir.

İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir. Yapılan analiz sonucunda hem a'nın çift olduğu durumda (b ve c'nin her ikisi de tek) hem de a'nın tek olduğu durumda (b ve c'nin her ikisi de çift) b ve c değişkenlerinin aynı sınıfta olduğu görülür. Dolayısıyla bu iki değişkenin toplamı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak modellemek.

a \cdot (b + c)

ifadesinin çift sayı ve

a + b \cdot c

ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.

Soruda verilen ilişkileri matematiksel denklemler halinde analiz edebilmek için cebirsel gösterim gereklidir.

2

Elde edilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek.

İki olası durum ortaya çıkar:
1. Durum:

a

çift ise, ikinci ifadenin tek olması için

b \cdot c

tek olmalıdır. Buradan

b

tek ve

c

tek bulunur.
2. Durum:

a

tek ise, birinci ifadenin çift olması için

b + c

çift olmalıdır. Bu durumda ikinci ifadenin tek olması için

b \cdot c

çift olmalıdır. Hem toplamları hem çarpımları çift olan sayılar ancak ikisinin de çift olması durumunda (

b

çift,

c

çift) sağlanır.

Çarpma ve toplama işlemlerinin temel teklik-çiftlik kurallarını uygulayarak değişkenlerin alabileceği değerleri sınırlandırmak gerekir.

3

Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre seçenekleri test etmek.

Her iki durumda da

b

ve

c

değişkenlerinin teklik-çiftlik karakteri aynıdır (ya ikisi de tek ya da ikisi de çifttir). Dolayısıyla

b + c

toplamı her iki durumda da çift sayı sonucunu verir.

Seçeneklerin her iki geçerli durum altında da her zaman çift sayı üretip üretmediğini kontrol etmek sonuca ulaştırır.

Key Concept

Tek ve çift sayıların toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri ile durum analizi yapılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 72Question →

$a$ , $b$ ve $c$ birer tam sayı olmak üzere,

a \cdot b + b^2 + c

toplamının bir tek sayıya,

b \cdot c + c^2 + a

toplamının ise bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. $a + c$
II. $a \cdot c + b$
III. $a^b + c$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır.

Verilen iki denklemin analizi yapıldığında a ve c sayılarının daima aynı paritede (ya her ikisinin de tek ya da her ikisinin de çift) olduğu, b sayısının ise onlardan farklı paritede olduğu sonucuna varılır. Aynı paritedeki iki tam sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından a + c toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak analiz edelim.

Birinci ifade

b(a + b) + c

şeklinde, ikinci ifade ise

c(b + c) + a

şeklinde yazılır.

Ortak çarpan parantezine almak, teklik-çiftlik incelemelerini kolaylaştırır.

2

b tam sayısının tek veya çift olma durumlarına göre a ve c sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleyelim.

Eğer b çift ise; b(a+b) çift olur ve c tek olmalıdır. Bu durumda ikinci ifadede c(b+c)+a = tek*(çift+tek)+a = tek+a olur. Bunun çift olması için a tek olmalıdır. Yani (a, b, c) = (Tek, Çift, Tek) olur. Eğer b tek ise; b(a+b)+c ifadesinin tek olması için a çift ve c çift olmalıdır. Bu durumda c(b+c)+a = çift*(tek+çift)+çift = çift olur ve ikinci denklemi sağlar. Yani (a, b, c) = (Çift, Tek, Çift) olur.

b tam sayısının tüm parite durumlarını inceleyerek sistemin tüm çözümlerini bulmak gerekir.

3

Ende edilen (a, b, c) parite durumlarını öncüllerde yerine koyarak değerlendirelim.

Her iki durumda da a ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır (ikisi de tek veya ikisi de çift). Bu yüzden I. öncüldeki a + c ifadesi daima çift sayıdır. II. öncüldeki a*c + b ifadesi daima tek sayıdır. III. öncüldeki a^b + c ifadesinde b negatif bir tam sayı (örneğin -2) olabileceğinden a^b tam sayı olmayabilir ve teklik-çiftlikten bahsedilemez.

Bulunan genel özellikleri her bir öncülün doğruluğunu test etmek için uygularız.

Key Concept

Tek ve çift sayıların özellikleri, tam sayı kuvvetlerinde teklik-çiftlik incelemesi ve üssün negatif olma durumu.

Estimated Time:2m 0s

Question 73Question →

x

,

y

ve

z

tam sayıları için

x + 3y

ve

y \cdot z

ifadelerinin birer tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $x + y + z$
II. $y^x + z$
III. $x \cdot y + z$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Yalnız II

Yalnız III

Yalnız I

I ve II

I ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır. Çünkü çift bir sayı ile iki tek sayının toplamı her zaman çift bir tam sayı verir. Değişkenlerin tamamı tam sayı olduğu için bu toplam daima tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.

y \cdot z

ifadesi tek sayı olduğundan hem

y

hem de

z

tek sayı olmak zorundadır.

x + 3y

ifadesi tek sayı olup

3y

tek sayı olduğundan

x

çift sayı olmalıdır.

Çarpımın tek sayı olması için tüm çarpanların tek sayı olması gerekir. Toplamın tek sayı olması için ise çift sayı ile tek sayının toplanması gerekir.

2

Birinci öncülü (

x + y + z

) inceleme.

x

(çift),

y

(tek) ve

z

(tek) tam sayıları için

x + y + z

toplamı:

\text{Çift} + \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}

olur.

Tam sayıların toplamı yine bir tam sayı belirtir ve çift ile iki tek sayının toplamı her zaman çifttir.

3

İkinci öncülü (

y^x + z

) inceleme.

x

çift bir tam sayı olduğundan negatif değerler de alabilir (örneğin

x = -2

). Bu durumda

y^x

ifadesi rasyonel bir sayı olur ve teklik-çiftlik kavramı tanımlanamaz.

Taban tam sayı olsa bile üssün negatif olması durumunda ifade tam sayı belirtmeyebilir.

4

Üçüncü öncülü (

x \cdot y + z

) inceleme.

x

(çift) ve

y

(tek) olduğundan

x \cdot y

çarpımı çifttir.

z

(tek) olduğundan

x \cdot y + z

ifadesi:

\text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek}

olur.

Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çift, çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı ise tektir.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ve üslü ifadelerde negatif üs durumu

Question 74Question →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

3a + b

ve

a \cdot (b + c)

ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

a \cdot c

a + b

b^a + c

a^b + b

b \cdot (a + c)

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot c$

Answer

a \cdot c

ifadesi her zaman çift sayıdır.

İncelenen tüm olası durumlarda ya

a

ya da

c

sayılarından en az birinin çift sayı olduğu görülür. İki tam sayının çarpımında çarpanlardan en az biri çift olduğunda sonuç daima çift sayı olacağından,

a \cdot c

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen iki ifadenin teklik-çiftlik durumlarına göre olası durum senaryoları kurulur.

3a + b

ve

a \cdot (b + c)

ifadelerinden biri tek iken diğeri çift olmalıdır.

Soruda bu iki ifadeden yalnız birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir.

2

3a + b

ifadesinin tek,

a \cdot (b + c)

ifadesinin çift olduğu birinci senaryo incelenir.

a

tek ise

b

çift ve

c

çift olmalıdır.

a

çift ise

b

tek olmalıdır ve

c

her iki değeri de alabilir.

3a+b

tek ise

a

ile

b

farklı teklik-çiftlik durumuna sahiptir.

a

tek iken

a(b+c)

ifadesinin çift olması için

b+c

çift, dolayısıyla

c

��ift olmalıdır.

a

çift ise

a(b+c)

her durumda çifttir.

3

3a + b

ifadesinin çift,

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek olduğu ikinci senaryo incelenir.

a

tek,

b

tek ve

c

çift olmalıdır.

a(b+c)

tek ise hem

a

hem de

b+c

tek olmalıdır.

a

tek iken

3a+b

çift olması için

b

tek,

b+c

tek iken

c

çift olmalıdır.

4

Elde edilen tüm durumlar özetlenerek seçenekler analiz edilir.

Tüm olası durumlarda ya

a

çift ya da

c

çift olmaktadır.

Olası durumlar: 1)

a

Tek,

c

Çift; 2)

a

Çift,

c

Tek; 3)

a

Çift,

c

Çift; 4)

a

Tek,

c

Çift. Görüldüğü gibi her durumda çarpanlardan en az biri çift olduğundan çarpımları her zaman çift sayıdır.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarda Temel İşlemler ve Durum Analizi

Question 75Question →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a^3 \cdot (b - 5)

ifadesinin bir tek sayı,

b \cdot c

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

a^2 + b \cdot c

a^c + b

b^a + c

(a + b)^c

a \cdot b + c

Show answer & explanation

Answer: $a^2 + b \cdot c$

Answer

a^2 + b \cdot c

ifadesi her zaman bir tek sayıdır.

a

tek sayı olduğu için

a^2

tektir.

b

çift sayı olduğu için

c

tam sayısının değeri ne olursa olsun

b \cdot c

çarpımı her zaman bir çift tam sayıdır. Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının toplamı her zaman tek sayı olacağından

a^2 + b \cdot c

ifadesi her zaman tek sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

İlk verilen ifadeden

a

ve

b

değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.

a

tek sayı,

b

çift sayıdır.

a^3 \cdot (b - 5)

çarpımı tek sayı ise çarpanların her ikisi de tek sayı olmalıdır.

a^3

tek ise

a

tek sayıdır.

b - 5

tek ise

b

çift sayıdır.

2

İkinci ifadeden

c

değişkeninin teklik-çiftlik durumunu analiz etme.

c

hakkında kesin bir teklik-çiftlik çıkarımı yapılamaz.

b \cdot c

çarpımı çift sayıdır.

b

çift sayı olduğu için

c

tam sayısının değerinden bağımsız olarak çarpım her durumda çift olacaktır. Bu nedenle

c

tek de olabilir çift de.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman tek tam sayı olup olmadığını test etme.

a^2 + b \cdot c

her zaman tek sayıdır. Üslü ifadelerde üssün negatif olma durumu teklik-çiftliği bozar.

a

tek olduğundan

a^2

tek bir tam sayıdır.

b

çift ve

c

tam sayı olduğundan

b \cdot c

çift bir tam sayıdır. Tek tam sayı ile çift tam sayının toplamı her zaman tek tam sayıdır. Diğer seçeneklerdeki üslerin (

c

ve

a

) negatif tam sayı olma durumu göz önüne alındığında ifadeler tam sayı belirtmeyebilir.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ve kuvvet alma kuralları

Question 76Question →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a \cdot b - c

ifadesinin bir çift sayı,

b + c

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $a + b$
II. $b \cdot c$
III. $a - c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

II ve III

Verilen ifadeler analiz edildiğinde,

b

ve

c

sayılarının zıt pariteye sahip olması gerektiği bulunur.

a \cdot b - c

ifadesinin çift olması koşulundan yola çıkılarak

b

çift ve

c

tek olduğunda çelişki oluştuğu görülür. Bu nedenle

b

tek,

c

çift ve

a

çift olmalıdır. Bu değerler yerine konulduğunda II. ve III. ifadelerin her zaman çift sayı olduğu anlaşılır.

Step-by-Step Solution

1

b + c

toplamının tek sayı olma durumlarını belirlemek.

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır. Buradan iki durum elde edilir:
1. Durum:

b

tek ve

c

çift
2. Durum:

b

çift ve

c

tek

İki tam sayının toplamının tek sayı olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

2

a \cdot b - c

ifadesinin çift sayı olma koşulunu kullanarak durumları analiz etmek.

2. Durum incelenirse (

b

çift,

c

tek);

a \cdot b - c

ifadesi,

a \cdot \text{çift} - \text{tek} = \text{çift} - \text{tek} = \text{tek}

olur. Bu durum, ifadenin çift olması koşuluyla çelişir. Dolayısıyla 2. Durum elenir.

1. Durum geçerlidir (

b

tek,

c

çift); bu durumda

a \cdot b - c

ifadesi,

a \cdot \text{tek} - \text{çift} = \text{çift}

olmalıdır. Buradan

a \cdot \text{tek} = \text{çift}

elde edilir. Bir çarpımın çift olabilmesi için çarpanlardan en az birinin çift olması gerektiğinden,

a

sayısı çift olmalıdır.

Her iki koşulu da sağlayan tek bir durum olduğunu göstermek ve

a

,

b

,

c

değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek.

3

Elde edilen

a

çift,

b

tek ve

c

çift sonuçlarına göre öncülleri değerlendirmek.

I.

a + b = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek}

(Her zaman tektir).
II.

b \cdot c = \text{tek} \cdot \text{çift} = \text{çift}

(Her zaman çifttir).
III.

a - c = \text{çift} - \text{çift} = \text{çift}

(Her zaman çifttir).

Öncüllerin teklik-çiftlik durumlarını kesin olarak belirleyip doğru seçeneğe ulaşmak.

Key Concept

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik ve çiftlik özellikleri.

Question 77Question →

x

,

y

ve

z

tam sayıları için

x^2 + y \cdot z

toplamı bir tek sayı,

y + z

toplamı ise bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

x^y + z

y \cdot z + x

x + y + 1

x + z

(x + y) \cdot z

Show answer & explanation

Answer: $x + y + 1$

Answer

x + y + 1

ifadesi

Doğru cevap olan

x + y + 1

ifadesi,

y

ve

z

tam sayılarının her ikisinin de çift olduğu durumda

x

tek sayı olacağından

\text{tek} + \text{çift} + \text{tek} = \text{çift}

sonucunu verir; her ikisinin de tek sayı olduğu durumda ise

x

çift sayı olacağından

\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

sonucunu verir. Her iki durumda da sonuç daima çifttir.

Step-by-Step Solution

1

y + z

toplamının çift sayı olmasından yola çıkarak

y

ve

z

değişkenlerinin durumlarını belirleme.

y

ve

z

tam sayılarının ikisi de çift ya da ikisi de tek olmalıdır.

İki tam sayının toplamının çift sayı olabilmesi için bu sayıların paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.

2

x^2 + y \cdot z

ifadesinin tek sayı olma koşulunu kullanarak

x

değişkeninin durumunu inceleme.

1. Durum:

y

ve

z

çift ise

y \cdot z

çifttir.

x^2 + \text{çift} = \text{tek}

olacağından

x^2

ve dolayısıyla

x

tek sayıdır.
2. Durum:

y

ve

z

tek ise

y \cdot z

tektir.

x^2 + \text{tek} = \text{tek}

olacağından

x^2

ve dolayısıyla

x

çift sayıdır.

Tek ve çift sayılardaki çarpma ve toplama işlemlerinin özellikleri kullanılarak diğer değişkenin karakteri belirlenir.

3

Elde edilen iki durumu da seçeneklerdeki ifadelerde yerine yazarak her zaman çift sayı sonucunu veren ifadeyi saptama.

1. Durum için (

x

tek,

y

çift):

x + y + 1 = \text{tek} + \text{çift} + 1 = \text{çift}

olur.
2. Durum için (

x

çift,

y

tek):

x + y + 1 = \text{çift} + \text{tek} + 1 = \text{çift}

olur.
Her iki durumda da

x + y + 1

ifadesi daima bir çift tam sayıya eşittir.

Genel geçerliliği olan ifadenin bulunması için her iki olası senaryonun da çift sayı çıktısı üretmesi gerekir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem Özellikleri ve Değişken Çözümlemesi

Question 78Question →

a

,

b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

a \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a + b

b + c

a \cdot b + c

a \cdot c

a^b + c

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot c$

Answer

Farklı teklik ve çiftlik durumlarına sahip iki tam sayının çarpımı olan ifade her zaman bir çift sayıdır.

Ortak paranteze alma işlemiyle elde edilen

b \cdot (a + c)

ifadesinin tek sayı olması,

b

ve

a+c

ifadelerinin her ikisinin de tek olduğunu gösterir.

a + c

toplamı tek olduğuna göre,

a

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır. Bu sebeple, biri tek diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacaktır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi ortak paranteze alarak basitleştirme.

a \cdot b + b \cdot c = b \cdot (a + c)

şeklinde yazılır.

Çarpım durumundaki ifadelerin teklik ve çiftlik analizini yapmak daha kolaydır.

2

Çarpanların teklik ve çiftlik durumlarını analiz etme.

b

tek sayı ve

a + c

tek sayı olmalıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

3

a

ve

c

sayılarının durumlarını belirleme.

a

ve

c

sayılarından biri tek sayı, diğeri çift sayıdır.

İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması şarttır.

4

Seçenekleri bu koşullara göre değerlendirme.

a \cdot c

çarpımı, çarpanlarından en az biri çift sayı olduğu için her zaman çift sayıdır.

Herhangi bir tam sayının bir çift sayı ile çarpımı daima çift sayıdır.

Key Concept

Tek ve çift sayılarda dört işlem özellikleri ve üslü sayılarda kuvvetin tam sayı/pozitiflik koşullarının teklik-çiftliğe etkisi.

Estimated Time:2m 0s

Question 79Question →

$a$ , $b$ ve $c$ birer tam sayı olmak üzere,
* $a \cdot b + c$ ifadesinin bir tek sayıya,
* $a + b \cdot c$ ifadesinin bir çift sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $a \cdot c + b$
II. $\frac{a \cdot b}{2} + c$
III. $(b + c)^a + c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır.

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır. Çünkü a çift, b çift ve c tek sayı olduğundan a.c + b ifadesi daima bir çift tam sayı belirtir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen koşullardan a, b ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek

a çift, b çift ve c tek sayı olarak bulunur.

Tek ve çift sayıların toplam ve çarpım kurallarına göre bu durumu sağlayan tek olasılık budur.

2

Birinci öncülü (a.c + b) analiz etmek

İfadenin daima çift sayı olduğu bulunur.

Çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı çift, iki çift sayının toplamı ise yine çifttir.

3

İkinci öncülü (ab/2 + c) analiz etmek

İfadenin daima tek sayı olduğu bulunur.

a ve b çift sayılar olduğundan çarpımlarının yarısı çift tam sayıdır. Çift sayı ile tek sayının (c) toplamı ise tektir.

4

Üçüncü öncülü ((b+c)^a + c) analiz etmek

İfadenin daima çift sayı olmadığı (bazı durumlarda tam sayı bile olmadığı) bulunur.

a tam sayısı negatif bir değer aldığında, üslü ifade rasyonel sayıya dönüşür ve teklik-çiftlik özelliği kaybolur.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılar

Estimated Time:2m 0s

Question 80Question →

Deniz seviyesine göre konumları metre cinsinden sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları olan üç denizaltı bulunmaktadır. Bu konum değerleri ile ilgili olarak,

* $a \cdot b + c$ ifadesinin bir tek sayı olduğu,
* $b + c$ ifadesinin bir çift sayı olduğu

bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a^c + b

b^a + c

a + b + c

a \cdot c + b

c^b + a

Show answer & explanation

Answer: $a + b + c$

Answer

a + b + c

ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

a

çift,

b

tek ve

c

tek tam sayıları için

a + b + c

ifadesinin değeri

\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olacağından ve bu sayıların toplamı her zaman bir tam sayı belirteceğinden, ifade her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

b + c

ifadesinin çift sayı olma durumunu analiz edelim.

b

ve

c

tam sayılarının her ikisi birden tek ya da her ikisi birden çift olmalıdır.

İki tam sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir.

2

b

ve

c

sayılarının her ikisinin de çift olması durumunu inceleyelim.

Eğer

b

ve

c

çift olsaydı,

a \cdot b + c

ifadesi (çift ile çarpım çift olacağından ve çift ile çiftin toplamı çift olacağından) çift sayı olurdu. Ancak soruda bu ifadenin tek sayı olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bu durum imkansızdır ve

b

ile

c

kesinlikle tek sayılardır.

Verilen

a \cdot b + c

ifadesinin tek sayı olması koşuluyla çelişkiyi test etmek için.

3

b

ve

c

tek sayı iken

a \cdot b + c

ifadesinin tek sayı olma durumunu inceleyelim.

a \cdot b + c

ifadesinde

c

tek sayı olduğundan, ifadenin tek sayı çıkması için

a \cdot b

çarpımı çift sayı olmalıdır.

b

tek sayı olduğundan,

a

çift sayı olmalıdır.

Tek sayıya çift sayı eklendiğinde sonuç tek sayı olacağı için

a \cdot b

ifadesinin çift olması gerekir.

4

Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını (

a

çift,

b

tek,

c

tek) seçeneklerde test edelim.

a + b + c

ifadesi

\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olur.

a, b, c

tam sayılar olduğu için toplamları da her zaman bir tam sayıdır. Üslü ifadeler içeren diğer seçeneklerde (

a^c + b

,

b^a + c

,

c^b + a

) üsler negatif tam sayı olabileceğinden (örneğin deniz seviyesinin altındaki konumlar için) bu ifadeler her zaman bir tam sayı belirtmez.

Her zaman çift sayı olan ifadeyi bulmak ve üslü ifadelerin negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyeceğini göstermek için.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayı işlemleri ile negatif üs durumunun sayı kümesine etkisi

Estimated Time:2m 0s

Tek ve Çift Sayılar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept