Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı ve Şekil Örüntüleri

Kartezyen koordinat düzleminde, başlangıç noktası (0,0)(0,0) olan ve pozitif tam sayıların sarmal (spiral) bir biçimde yerleştirilmesiyle elde edilen bir sayı örüntüsü oluşturuluyor. Bu örüntüde sayılar sırasıyla sağa, yukarı, sola ve aşağı doğru ilerleyen bir hat üzerinde boş olan ilk tam sayı koordinatına yerleştirilmektedir.

Örüntünün ilk birkaç adımı şu şekildedir:
- 1→(0,0)1 \rightarrow (0,0)
- 2→(1,0)2 \rightarrow (1,0)
- 3→(1,1)3 \rightarrow (1,1)
- 4→(0,1)4 \rightarrow (0,1)
- 5→(−1,1)5 \rightarrow (-1,1)
- 6→(−1,0)6 \rightarrow (-1,0)
- 7→(−1,−1)7 \rightarrow (-1,-1)
- 8→(0,−1)8 \rightarrow (0,-1)
- 9→(1,−1)9 \rightarrow (1,-1)
- 10→(2,−1)10 \rightarrow (2,-1)

Buna göre, 20262026 sayısı koordinat düzleminde hangi noktaya yerleştirilir?

  1. A
    (22,−22)(22, -22)
  2. (23,−22)(23, -22)Cevap
  3. C
    (22,−21)(22, -21)
  4. D
    (23,−23)(23, -23)
  5. E
    (−22,22)(-22, 22)

Cevap

Koordinatı (23,−22)(23, -22) olan seçenek doğrudur.
Örüntünün yapısı incelendiğinde, tek sayıların karelerinin (k,−k)(k, -k) biçimindeki koordinatlara yerleştiği görülür. 2025=4522025 = 45^2 sayısı bu kurala göre k=22k=22 için (22,−22)(22, -22) noktasındadır. Bir sonraki sayı olan 20262026, sarmalın kuralı gereği bu noktanın 11 birim sağında yer alan (23,−22)(23, -22) koordinatında bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sarmalın köşe noktalarındaki sayıların özelliğini belirlemek.
Her katmanın sağ alt köşesinde tek sayıların karelerinin yer aldığı görülür: 9=329 = 3^2, 25=5225 = 5^2, 49=7249 = 7^2 vb.
Örüntünün genel kuralını tespit etmek için köşe noktalarını analiz etmek gerekir.
2
Köşe noktalarının koordinatları ile bu sayılar arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak.
Her kk pozitif tam sayısı için, (2k+1)2(2k+1)^2 sayısı (k,−k)(k, -k) koordinatında yer alır. Örneğin; k=1k=1 için 32=93^2 = 9 sayısı (1,−1)(1, -1) noktasındadır. k=2k=2 için 52=255^2 = 25 sayısı (2,−2)(2, -2) noktasındadır.
Hedefimiz olan 20262026 sayısına en yakın tam kare sayı üzerinden konum belirlemektir.
3
20262026 sayısına en yakın tek tam kareyi bulmak ve konumunu belirlemek.
2025=4522025 = 45^2 sayısıdır. 2k+1=45  ⟹  k=222k+1 = 45 \implies k = 22 bulunur. Dolayısıyla 20252025 sayısı (22,−22)(22, -22) koordinatındadır.
Sarmalın 22. katmanının bittiği koordinatı tam olarak belirlemek.
4
20252025 koordinatından 20262026 koordinatına geçiş adımını hesaplamak.
Sarmalın hareket yönü kuralına göre, bir katman bittikten sonra yeni katmana geçiş 11 birim sağa hareketle başlar. Bu durumda (22,−22)(22, -22) noktasından 11 birim sağa gidildiğinde (23,−22)(23, -22) koordinatına ulaşılır. Bu noktada 20262026 sayısı yer alır.
Örüntünün yön kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı ve Şekil Örüntüleri

Bu konudan daha fazla soru