Examkin

Sayı ve Şekil Örüntüleri

14 soru

Tüm türler14Çoktan seçmeli13Sayısal1
Soru 1Soru →

Birim kareler kullanılarak düzlemde bir ��ekil örüntüsü oluşturuluyor.
- 1. adımda sadece 11 adet birim kare bulunmaktadır.
- Sonraki her adımda, bir önceki adımda elde edilen şeklin sınırındaki karelerle en az bir ortak kenarı olan ve henüz şekle dahil edilmemiş tüm birim kareler örüntüye eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 8. adımında toplam kaç adet birim kare bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 113

Cevap

Örüntünün 8. adımında toplam 113 adet birim kare bulunur.
Örüntünün adımlarındaki toplam kare sayıları sırasıyla 1, 5, 13, 25... şeklindedir. Adımlar arası farklar incelendiğinde 4, 8, 12, 16... şeklinde 4'ün katları olarak arttığı görülür. nn. adımdaki toplam kare sayısını veren genel formül 2n2−2n+12n^2 - 2n + 1'dir. n=8n = 8 için bu formül 2(82)−2(8)+1=1132(8^2) - 2(8) + 1 = 113 sonucunu verir. Bu nedenle 113 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk adımlardaki kare sayılarını listeleyerek adımlar arasındaki farkı belirleyin.
1. adımda 1 kare, 2. adımda 5 kare (artış +4), 3. adımda 13 kare (artış +8) bulunmaktadır. Bir sonraki adımda (4. adım) artış miktarı 12 olacak ve 25 kareye ulaşılacaktır.
Örüntünün büyüme kuralını ve artış miktarındaki düzeni görmek için.
2
Artış miktarlarının oluşturduğu dizinin kuralını çıkarın ve genel toplam formülünü oluşturun.
nn. adımdaki toplam kare sayısı 1+4+8+12+...+4(n−1)1 + 4 + 8 + 12 + ... + 4(n-1) şeklinde yazılabilir. Bu toplam 1+4⋅(n−1)n2=2n2−2n+11 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2n^2 - 2n + 1 formülüne eşittir.
Herhangi bir nn. adım için toplam kare sayısını doğrudan hesaplayabilmek için.
3
Formülde n=8n = 8 yazarak 8. adımdaki kare sayısını hesaplayın.
2(82)−2(8)+1=2(64)−16+1=128−16+1=1132(8^2) - 2(8) + 1 = 2(64) - 16 + 1 = 128 - 16 + 1 = 113 bulunur.
Soruda istenen 8. adımdaki toplam kare sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Şekil örüntülerinde adım sayısı ile eleman sayısı arasındaki ikinci dereceden (karesel) ilişkiyi belirleme ve formüle etme.

İpuçları

1
İlk birkaç adımdaki toplam kare sayılarını yazarak adımlar arasındaki farkları inceleyin.
2
1, 5, 13, 25 sayıları arasındaki artış miktarlarının 4, 8, 12 şeklinde 4'ün katları olduğunu fark edin.
3
nn. adım için toplam kare sayısı 1+4(1+2+3+...+(n−1))1 + 4(1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) formülü ile hesaplanabilir. Burada n=8n=8 yazarak sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Kartezyen koordinat düzleminde, başlangıç noktası (0,0)(0,0) olan ve pozitif tam sayıların sarmal (spiral) bir biçimde yerleştirilmesiyle elde edilen bir sayı örüntüsü oluşturuluyor. Bu örüntüde sayılar sırasıyla sağa, yukarı, sola ve aşağı doğru ilerleyen bir hat üzerinde boş olan ilk tam sayı koordinatına yerleştirilmektedir.

Örüntünün ilk birkaç adımı şu şekildedir:
- 1→(0,0)1 \rightarrow (0,0)
- 2→(1,0)2 \rightarrow (1,0)
- 3→(1,1)3 \rightarrow (1,1)
- 4→(0,1)4 \rightarrow (0,1)
- 5→(−1,1)5 \rightarrow (-1,1)
- 6→(−1,0)6 \rightarrow (-1,0)
- 7→(−1,−1)7 \rightarrow (-1,-1)
- 8→(0,−1)8 \rightarrow (0,-1)
- 9→(1,−1)9 \rightarrow (1,-1)
- 10→(2,−1)10 \rightarrow (2,-1)

Buna göre, 20262026 sayısı koordinat düzleminde hangi noktaya yerleştirilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (23,−22)(23, -22)

Cevap

Koordinatı (23,−22)(23, -22) olan seçenek doğrudur.
Örüntünün yapısı incelendiğinde, tek sayıların karelerinin (k,−k)(k, -k) biçimindeki koordinatlara yerleştiği görülür. 2025=4522025 = 45^2 sayısı bu kurala göre k=22k=22 için (22,−22)(22, -22) noktasındadır. Bir sonraki sayı olan 20262026, sarmalın kuralı gereği bu noktanın 11 birim sağında yer alan (23,−22)(23, -22) koordinatında bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sarmalın köşe noktalarındaki sayıların özelliğini belirlemek.
Her katmanın sağ alt köşesinde tek sayıların karelerinin yer aldığı görülür: 9=329 = 3^2, 25=5225 = 5^2, 49=7249 = 7^2 vb.
Örüntünün genel kuralını tespit etmek için köşe noktalarını analiz etmek gerekir.
2
Köşe noktalarının koordinatları ile bu sayılar arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak.
Her kk pozitif tam sayısı için, (2k+1)2(2k+1)^2 sayısı (k,−k)(k, -k) koordinatında yer alır. Örneğin; k=1k=1 için 32=93^2 = 9 sayısı (1,−1)(1, -1) noktasındadır. k=2k=2 için 52=255^2 = 25 sayısı (2,−2)(2, -2) noktasındadır.
Hedefimiz olan 20262026 sayısına en yakın tam kare sayı üzerinden konum belirlemektir.
3
20262026 sayısına en yakın tek tam kareyi bulmak ve konumunu belirlemek.
2025=4522025 = 45^2 sayısıdır. 2k+1=45  ⟹  k=222k+1 = 45 \implies k = 22 bulunur. Dolayısıyla 20252025 sayısı (22,−22)(22, -22) koordinatındadır.
Sarmalın 22. katmanının bittiği koordinatı tam olarak belirlemek.
4
20252025 koordinatından 20262026 koordinatına geçiş adımını hesaplamak.
Sarmalın hareket yönü kuralına göre, bir katman bittikten sonra yeni katmana geçiş 11 birim sağa hareketle başlar. Bu durumda (22,−22)(22, -22) noktasından 11 birim sağa gidildiğinde (23,−22)(23, -22) koordinatına ulaşılır. Bu noktada 20262026 sayısı yer alır.
Örüntünün yön kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri
Soru 3Soru →

Pozitif tam sayılar, aşağıdaki kurallara göre satır sayıları yukarıdan aşağıya doğru artacak biçimde üçgensel bir piramit oluşturacak şekilde yerleştiriliyor:

* 1.1. satırda 11 adet, 2.2. satırda 22 adet, 3.3. satırda 33 adet sayı olacak şekilde her n.n. satırda nn adet sayı bulunmaktadır.
* Sayılar 11'den başlayarak ardışık olarak sırayla yerleştirilmektedir.
* Tek numaralı satırlardaki sayılar soldan sağa doğru artan sırada yazılmaktadır.
* Çift numaralı satırlardaki sayılar sağdan sola doğru artan sırada (yani soldan sağa doğru azalan sırada) yazılmaktadır.

Bu piramidin ilk 55 satırı aşağıda gösterilmiştir:

1
3 2
4 5 6
10 9 8 7
11 12 13 14 15

Buna göre, 200200 sayısı bu sayı piramidinde kaçıncı satırda ve soldan kaçıncı sıradadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20.20. satır, soldan 11.11. sırada

Cevap

20. satır, soldan 11. sırada
Doğru seçenekte belirtildiği gibi, 20. satır çift numaralı bir satır olduğundan sayılar sağdan sola doğru artmaktadır. Bu satır 191 ile başlayıp 210 ile biter. 200 sayısı sağdan 10. sayı olduğundan, soldan 11. sırada yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Piramidin her satırının sonundaki en büyük sayıyı belirlemek için bir formül kuralım.
n.n. satırın sonundaki en büyük sayı, ilk nn satırdaki toplam sayı adedine eşittir. Bu toplam Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2} formülüyle hesaplanır.
Piramitteki sayıların hangi satır aralığına düştüğünü bulabilmek için her satırın sınır değerlerini belirlememiz gerekir.
2
200200 sayısının hangi satırda yer aldığını bulmak için Sn≥200S_n \geq 200 koşulunu sağlayan en küçük nn değerini arayalım.
n=19n = 19 için S19=19×202=190S_{19} = \frac{19 \times 20}{2} = 190'dır. n=20n = 20 için S20=20×212=210S_{20} = \frac{20 \times 21}{2} = 210'dur. 190<200≤210190 < 200 \leq 210 olduğundan, 200200 sayısı 20.20. satırdadır.
Sınır değerleri kıyaslayarak hedef sayımızın satır numarasını netleştiririz.
3
20.20. satırdaki sayıların dizilim yönünü belirleyelim ve soldan sağa doğru konumunu hesaplayalım.
20.20. satır çift numaralı bir satır olduğundan sayılar sağdan sola doğru artarak yazılır. Bu satırdaki sayılar sağdan sola doğru 191191'den başlayıp 210210'a kadar gider. 200200 sayısı sağdan 200−190=10.200 - 190 = 10. sayıdır. Satırda 2020 sayı olduğuna göre, soldan sırası 20−10+1=11.20 - 10 + 1 = 11. sıradır.
Çift satırlardaki ters yönlü dizilim kuralını uygulayarak aranan sayının soldan konumunu buluruz.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri
Soru 4Soru →

Bir sokağın sol tarafındaki evler sokağın girişinden itibaren sırasıyla ardışık tek sayılarla (1,3,5,…1, 3, 5, \dots), sağ tarafındaki evler ise sırasıyla ardışık çift sayılarla (2,4,6,…2, 4, 6, \dots) numaralandırılmı��tır.

Buna göre, bu sokağın sol tarafındaki 15.15. evin kapı numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2929

Cevap

Sol taraftaki 15. evin kapı numarası 29'dur.
Sokağın sol tarafındaki evler 1, 3, 5, ... şeklinde ardışık tek sayılarla numaralandırılmıştır. Ardışık tek sayıların genel terim formülü 2n−12n - 1 şeklindedir. Bizden 15. evin numarası istendiği için n=15n = 15 değeri formülde yerine yazılır. Buradan 2×15−1=292 \times 15 - 1 = 29 elde edilir. Bu nedenle 29 değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki evlerin numara örüntüsünü inceleyin.
Evlerin numaraları 1, 3, 5, ... şeklinde ardışık tek sayılardan oluşmaktadır.
Örüntünün genel kuralını belirlemek için ilk terimleri inceliyoruz.
2
Ardışık tek sayıların genel terim formülünü oluşturun.
n.n. sıradaki tek sayının kapı numarası 2n−12n - 1 formülü ile temsil edilir. Örneğin: 1. ev için 2(1)−1=12(1) - 1 = 1, 2. ev için 2(2)−1=32(2) - 1 = 3, 3. ev için 2(3)−1=52(3) - 1 = 5 olur.
Herhangi bir sıradaki evin numarasını doğrudan bulabilmek için genel kuralı formüle ediyoruz.
3
Formülde nn yerine 1515 yazarak 15. evin kapı numarasını hesaplayın.
2×15−1=30−1=292 \times 15 - 1 = 30 - 1 = 29 bulunur.
Sokaktaki 15. evin numarasın�� bulmak için genel kuralı uyguluyoruz.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayı Örüntüleri ve Genel Terim Bulma

İpuçları

1
Sol taraftaki ilk birkaç evin kapı numarasını listeleyin ve bu sayılar arasındaki ilişkiyi görmeye çalışın.
2
1, 3, 5, ... sayıları ardışık tek sayılardır. Ardışık tek sayıların n.n. terimini veren formülü hatırlayın.
3
Ardışık tek sayıların genel terimi 2n−12n - 1 şeklindedir. Formüldeki nn yerine 1515 yazarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, sağ taraftaki 20. evin kapı numarasını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Formül kullanmak yerine ilk birkaç terimi yazıp örüntüyü 15. adıma kadar manuel olarak da devam ettirebilirsiniz: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29. 15. sıradaki sayı 29'dur.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Bir sayı örüntüsünde her bir terim, kendisinden önceki terimin 22 katının 33 eksiği alınarak elde edilmektedir. Bu örüntünün ilk terimi 55 olduğuna göre, örüntünün 4.4. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Örüntünün dördüncü terimi 19 sayısıdır.
Örüntünün kuralı her adımda bir önceki terimin 2 katının 3 eksiğini almaktır. Birinci terim 5 ise; ikinci terim 2 * 5 - 3 = 7, üçüncü terim 2 * 7 - 3 = 11 ve dördüncü terim 2 * 11 - 3 = 19 olur. Bu nedenle doğru yanıt 19 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terime örüntü kuralını uygulayarak ikinci terimi bulun.
a2=2×5−3=7a_2 = 2 \times 5 - 3 = 7
İlk terim 5 olarak verilmiştir ve sonraki terim bir öncekinin 2 katının 3 eksiğidir.
2
İkinci terime örüntü kuralını uygulayarak üçüncü terimi bulun.
a3=2×7−3=11a_3 = 2 \times 7 - 3 = 11
Örüntü kuralı her yeni adımdaki terime ardışık olarak uygulanır.
3
Üçüncü terime örüntü kuralını uygulayarak dördüncü terimi bulun.
a4=2×11−3=19a_4 = 2 \times 11 - 3 = 19
İstenen dördüncü terime ulaşmak için kuralı üçüncü terime uyguluyoruz.

Anahtar Kavram

Sayı örüntülerinde ardışık adımlarda verilen kuralı takip etme.
Soru 6Soru →

Bir dairesel oyun tahtası üzerinde, 11'den 88'e kadar saat yönünde ardışık olarak numaralandırılmış 88 adet hücre bulunmaktadır. Başlangıçta 11 numaralı hücrede duran bir taş, belirli bir kurala göre hareket ettirilecektir.

Bu hareket kuralına göre taş;
- 1.1. adımda saat yönünde 11 hücre,
- 2.2. adımda saat yönünde 22 hücre,
- 3.3. adımda saat yönünde 33 hücre ilerletilmektedir.

Benzer şekilde, taş her n.n. adımda saat yönünde nn hücre ilerletilerek hareketine devam etmektedir.

Buna göre, başlangıçtan itibaren 100.100. adımın sonunda bu taş kaç numaralı hücrede bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Taşın 100100 adımda yapacağı toplam ilerleme 100×1012=5050\frac{100 \times 101}{2} = 5050 hücredir. Dairesel oyun tahtası 8 hücreden oluştuğu için bu ilerlemenin 8'e göre modu alınır: 5050≡2(mod8)5050 \equiv 2 \pmod{8}. Başlangıçta 11 numaralı hücrede bulunan taş, saat yönünde 2 hücre daha ilerleyerek 33 numaralı hücreye ulaşır. Bu nedenle doğru cevap 3 hücresidir.

Adım Adım Çözüm

1
Taşın her adımdaki ilerleme miktarını belirlemek ve toplam ilerlemeyi veren matematiksel formülü yazmak.
Taşın nn. adımdaki ilerleme miktarı nn birimdir. Dolayısıyla nn. adımın sonundaki toplam ilerleme miktarı ilk nn pozitif tam sayının toplamı olan Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2} formülü ile hesaplanır.
Örüntünün genel kuralını belirleyerek adımları tek tek saymak yerine doğrudan formül üzerinden sonuca ulaşmak.
2
100100. adım sonundaki toplam ilerleme miktarını formülde n=100n = 100 yazarak hesaplamak.
S100=100×1012=50×101=5050S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050 hücredir.
100100 adımda taşın toplamda kaç hücre ilerlediğini bulmak.
3
Dairesel oyun tahtası 8 hücreden oluştuğu için toplam ilerleme miktarının 8 ile bölümünden kalanı bulmak ve başlangıç hücresine eklemek.
50505050 sayısının 8 ile bölümünden kalan: 5050=8×631+25050 = 8 \times 631 + 2 olduğundan kalan 22'dir. Taş başlangıçta 11 numaralı hücrede bulunduğundan, son konumu 1+2=31 + 2 = 3 numaralı hücre olur.
Her 8 adımda bir taş aynı konuma geri döneceğinden (mod 8), toplam ilerlemenin 8'e göre kalanını bulup başlangıç konumuna ekleyerek son hücreyi tespit etmek.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri

İpuçları

1
Toplam ilerleme miktarını bulmak için ardışık sayıların toplamı formülü olan n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} ifadesini kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, taşın her tek numaralı adımda saat yönünde, her çift numaralı adımda ise saat yönünün tersine hareket ettiği alternatif bir senaryoyu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İlk birkaç adımın mod 8'deki konumlarını yazarak örüntünün periyodunu bulabilir ve 100. adımın bu periyottaki yerine bakarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Aşağıdaki tabloda sayılar belirli bir mantıksal kurala göre yerleştirilmiştir.

1. Sütun2. Sütun3. Sütun
33551616
44772222
6699??

Buna göre, tablodaki soru işareti (??) yerine gelmesi gereken sayı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 30'dur.
Tablonun her satırında ilk iki sütundaki sayıların toplamının iki katı, üçüncü sütundaki sayıyı vermektedir. Üçüncü satır için bu kural uygulandığında (6+9)×2=30(6 + 9) \times 2 = 30 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk satırdaki sayılar arasındaki ilişkiyi belirleyin.
Birinci ve ikinci sütundaki sayıların toplamının iki katı üçüncü sütundaki sayıyı vermektedir: (3+5)×2=16(3 + 5) \times 2 = 16.
Ör��ntünün genel kuralını bulmak için ilk satırı analiz ediyoruz.
2
Aynı kuralı ikinci satırda test edin.
İkinci satır için kuralı uyguladığımızda: (4+7)×2=22(4 + 7) \times 2 = 22 elde edilir. Kural doğrulanmıştır.
Kuralın tüm satırlarda tutarlı olduğunu doğrulamak gerekir.
3
Kuralı üçüncü satıra uygulayarak bilinmeyen değeri bulun.
Üçüncü satırda birinci sütundaki 66 ile ikinci sütundaki 99 sayılarını toplayıp 22 ile çarparız: (6+9)×2=15×2=30(6 + 9) \times 2 = 15 \times 2 = 30.
Soru işaretinin değerini bulmak için doğrulanmış kuralı hedef satıra uyguluyoruz.

Anahtar Kavram

Sayı tablosunda satır bazlı örüntü kuralı bulma
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 8Soru →

Bir kare örüntüsünün her adımında, özdeş kareler yan yana dizilerek yeni bir dikdörtgen elde edilmektedir.

- 11. adımda: 11 kare (ortak kenar sayısı 00)
- 22. adımda: yan yana 22 kare (ortak kenar sayısı 11)
- 33. adımda: yan yana 33 kare (ortak kenar sayısı 22)

Buna göre, bu örüntünün 1212. adımındaki toplam kare sayısı ile ortak kenar sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Toplam kare sayısı ile ortak kenar sayısının toplamı 23'tür.
Yirmi üç değeri doğrudur çünkü örüntünün 1212. adımında 1212 kare ve bu karelerin birleşimiyle oluşan 1111 ortak kenar bulunur. Bu iki değerin toplamı 12+11=2312 + 11 = 23 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
1212. adımdaki kare sayısını belirleme.
Örüntü kuralına göre nn. adımda yan yana nn adet kare bulunur. Dolayısıyla 1212. adımda 1212 adet kare vardır.
Her adımda kare sayısı adım numarasına eşittir.
2
1212. adımdaki ortak kenar sayısın�� hesaplama.
Yan yana dizilen nn adet karenin ortak kenar sayısı n−1n - 1 formülü ile bulunur. Buradan 12−1=1112 - 1 = 11 adet ortak kenar elde edilir.
Kareler yan yana birle��tirildiğinde, her yeni kare bir önceki kareyle 11 ortak kenar oluşturur.
3
Kare sayısı ile ortak kenar sayısını toplama.
12+11=2312 + 11 = 23
Soruda bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri

İpuçları

1
Her adımdaki kare sayısı ile ortak kenar sayısı arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışın.
2
nn. adımda kare sayısı nn iken ortak kenar sayısı n−1n - 1 olur.
3
1212. adım için kare sayısını 1212, ortak kenar sayısını ise 1111 alıp toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, üçgenlerin yan yana dizilmesiyle oluşan örüntülerde ortak kenar sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

nn. adım için kare sayısı ve ortak kenar sayısının toplamı n+(n−1)=2n−1n + (n - 1) = 2n - 1 genel formülü ile hesaplanabilir. n=12n = 12 için bu formül 2×12−1=232 \times 12 - 1 = 23 sonucunu verir.
Tahmini Süre:45s
Soru 9Soru →

Bir sayı örüntüsünün terimleri a1,a2,a3,…,an,…a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots şeklinde sıralanmaktadır. Bu örüntünün ilk iki terimi

a1=1a_1 = 1

a2=3a_2 = 3

olarak verilmiştir. Sonraki terimler ise her n≥3n \geq 3 için,

* nn tek sayı ise an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
* nn çift sayı ise an=an−1−an−2a_n = a_{n-1} - a_{n-2}

kurallarına göre belirlenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 22. terimi (a22a_{22}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 157

Cevap

Örüntünün 22. terimi 157'dir.
Doğru cevap olan 157 sayısı, örüntünün kuralları gereği a22=a19a_{22} = a_{19} eşitliğinden ve tek indisli terimlerin kendi arasındaki Fibonacci benzeri toplam ilişkisinden yararlanılarak doğru adımlarla hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün ilk birkaç terimini verilen kurallara göre yazalım.
a1=1a_1 = 1, a2=3a_2 = 3, a3=3+1=4a_3 = 3+1 = 4, a4=4−3=1a_4 = 4-3 = 1, a5=1+4=5a_5 = 1+4 = 5, a6=5−1=4a_6 = 5-1 = 4, a7=4+5=9a_7 = 4+5 = 9, a8=9−4=5a_8 = 9-4 = 5, a9=5+9=14a_9 = 5+9 = 14, a10=14−5=9a_{10} = 14-5 = 9
Örüntünün terimleri arasındaki genel ilişkiyi ve kuralları gözlemlemek için ilk terimleri listeliyoruz.
2
Çift indisli terimler ile tek indisli terimler arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade edelim.
a2m=a2m−1−a2m−2a_{2m} = a_{2m-1} - a_{2m-2} ve a2m−1=a2m−2+a2m−3a_{2m-1} = a_{2m-2} + a_{2m-3} eşitliklerini birleştirdiğimizde, a2m=(a2m−2+a2m−3)−a2m−2=a2m−3a_{2m} = (a_{2m-2} + a_{2m-3}) - a_{2m-2} = a_{2m-3} elde edilir.
Bu eşitlik, çift indisli terimlerin hesaplanmasını kolaylaştırarak bizi doğrudan daha küçük indisli bir tek terime ulaştırır.
3
Elde edilen ilişkiyi 22. terim (a22a_{22}) için uygulayalım.
2m=22  ⟹  m=112m = 22 \implies m = 11 olur. Buradan a22=a2(11)−3=a19a_{22} = a_{2(11)-3} = a_{19} elde edilir.
22. terimi bulmak yerine örüntüdeki 19. terimi bulmanın yeterli olduğunu saptıyoruz.
4
Tek indisli terimlerin kendi arasındaki örüntüyü inceleyelim ve a19a_{19} terimini hesaplayalım.
Tek indisli terimler için a2m−1=a2m−2+a2m−3a_{2m-1} = a_{2m-2} + a_{2m-3} kuralı geçerlidir. a2m−2=a2m−5a_{2m-2} = a_{2m-5} olduğundan, a2m−1=a2m−5+a2m−3a_{2m-1} = a_{2m-5} + a_{2m-3} olur. Tek indisli terimleri sıralarsak:

* a1=1a_1 = 1
* a3=4a_3 = 4
* a5=1+4=5a_5 = 1 + 4 = 5
* a7=4+5=9a_7 = 4 + 5 = 9
* a9=5+9=14a_9 = 5 + 9 = 14
* a11=9+14=23a_{11} = 9 + 14 = 23
* a13=14+23=37a_{13} = 14 + 23 = 37
* a15=23+37=60a_{15} = 23 + 37 = 60
* a17=37+60=97a_{17} = 37 + 60 = 97
* a19=60+97=157a_{19} = 60 + 97 = 157 buluruz.
Tek indisli terimlerin her birinin, kendisinden önceki iki tek indisli terimin toplamına eşit olduğunu görerek a19a_{19} değerini kolayca buluruz.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde pariteye (tek/çift olma durumuna) göre değişen kuralların analizi ve indirgeme formüllerinin kullanımı.

İpuçları

1
İlk 10 terimi yazarak çift terimlerin (a4,a6,a8,a10a_4, a_6, a_8, a_{10}) kendilerinden önceki terimlerle nasıl bir ilişkisi olduğunu inceleyin.
2
Her çift indisli terim için a2m=a2m−3a_{2m} = a_{2m-3} eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz. Bu durumda a22a_{22} terimini bulmak için hangi tek terimi bulmanız gerekir?
3
a22=a19a_{22} = a_{19} olduğunu saptadıktan sonra, tek indisli terimlerin (a1,a3,a5,a7,…a_1, a_3, a_5, a_7, \dots) kendi aralarında a2m−1=a2m−3+a2m−5a_{2m-1} = a_{2m-3} + a_{2m-5} kuralına göre ilerlediğini fark edin. Bu dizilim 1,4,5,9,14,…1, 4, 5, 9, 14, \dots şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, tek terimlerin çıkarma, çift terimlerin çarpma olduğu veya pariteye göre modüler aritmetik içeren örüntü sorularını çözerek hız kazanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, herhangi bir kısayol görmeden a1a_1'den başlayarak her adımda nn değerinin tek veya çift olmasına göre toplama ve çıkarma işlemlerini sırasıyla 22. adıma kadar hatasız bir şekilde manuel olarak yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →

Bir sayı ve şekil örüntüsü aşağıdaki kurallara göre oluşturulmaktadır:
- 11. adımda: Merkezde bulunan tek bir kare hücreye 11 sayısı yazılır.
- Her bir sonraki adımda (n≥2n \geq 2):
- Mevcut şeklin dış sınırlarına komşu olacak şekilde yeni kare hücreler eklenerek şekil genişletilir (böylece her adımda merkezden dışarıya doğru bakışımlı bir baklava şekli oluşur).
- Yeni eklenen tüm hücrelerin her birine 11 sayısı yazılır.
- Önceki adımlardan kalan tüm hücrelerin içindeki sayılar 22 ile çarpılır.

Buna göre, bu örüntünün 77. adımında şekli oluşturan tüm hücrelerdeki sayıların toplamı kaç olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 544

Cevap

Yedinci adımdaki hücrelerde bulunan sayıların toplamı 544 olur.
Örüntünün her adımındaki hücre sayıları ve bunların değer değişimleri incelendiğinde, nn. adımdaki toplam değer olan SnS_n ifadesinin bir önceki adımın toplamının iki katı ile o adımda eklenen yeni hücre sayısının (4(n−1)4(n-1) adet 11 değerli hücre) toplamına eşit olduğu görülür. Bu bağıntı Sn=2Sn−1+4(n−1)S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1) şeklinde ifade edilir. S1=1S_1 = 1 başlangıç değeriyle başlayarak adım adım hesaplandığında yedinci adımda toplam 544 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk üç adımda hücrelerin sayısal değerlerini ve toplamlarını hesaplayarak örüntünün temel işleyişini incelemek.
Birinci adımda toplam S1=1S_1 = 1 olur. İkinci adımda merkezdeki hücre iki katına çıkar (1×2=21 \times 2 = 2) ve dışına 44 adet yeni hücre (11 değerli) eklenir; toplam S2=2+4=6S_2 = 2 + 4 = 6 olur. Üçüncü adımda mevcut hücreler iki katına çıkar (6×2=126 \times 2 = 12) ve dışa 88 adet yeni hücre (11 değerli) eklenir; toplam S3=12+8=20S_3 = 12 + 8 = 20 olur.
Adımlar arasındaki sayısal geçiş ilişkisini tespit etmek.
2
Örüntünün genel adımları arasındaki indirgeme bağıntısını (nn. adımdan (n+1)(n+1). adıma geçiş) formüle etmek.
Her adımda eski toplam iki katına çıkmakta ve dışarıya 4(n−1)4(n-1) tane yeni hücre eklenmektedir. Dolayısıyla bağıntı Sn=2Sn−1+4(n−1)S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1) şeklindedir.
Herhangi bir adım için toplamı veren rekürsif denklemi belirlemek.
3
Elde edilen bağıntıyı kullanarak ardışık adımların toplamını yedinci adıma kadar hesaplamak.
S4=2S3+4(3)=2(20)+12=52S_4 = 2 S_3 + 4(3) = 2(20) + 12 = 52
S5=2S4+4(4)=2(52)+16=120S_5 = 2 S_4 + 4(4) = 2(52) + 16 = 120
S6=2S5+4(5)=2(120)+20=260S_6 = 2 S_5 + 4(5) = 2(120) + 20 = 260
S7=2S6+4(6)=2(260)+24=544S_7 = 2 S_6 + 4(6) = 2(260) + 24 = 544 bulunur.
İstenen yedinci adımdaki hücrelerin toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayısal ve şekilsel örüntülerde büyüme kurallarını belirleme ve matematiksel indirgeme bağıntısı kurma.

Alternatif Yöntem

Örüntünün nn. adımındaki toplamı veren kapalı formül türetilebilir. Sn=2Sn−1+4(n−1)S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1) indirgeme bağıntısının çözümü Sn=9⋅2n−1−4(n+1)S_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 4(n+1) şeklindedir. Bu formülde n=7n = 7 yazıldığında; S7=9⋅26−4(8)=9⋅64−32=576−32=544S_7 = 9 \cdot 2^6 - 4(8) = 9 \cdot 64 - 32 = 576 - 32 = 544 sonucu doğrudan elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Bir kenarı nn birim olan eşkenar üçgenlerin köşelerine ve kenarları üzerine, 1 birim aralıklarla noktalar yerleştirilerek bir şekil örüntüsü oluşturuluyor. Bu örüntünün ilk üç adımı aşağıda modellenmiştir:

- 1. adımda: Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgen için 3 nokta
- 2. adımda: Kenar uzunluğu 2 birim olan üçgen için 6 nokta
- 3. adımda: Kenar uzunluğu 3 birim olan üçgen için 10 nokta

kullanılmıştır.

Buna göre, bu örüntünün kaçıncı adımında kullanılan toplam nokta sayısı, 12. adımında kullanılan toplam nokta sayısından 36 eksiktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9. adımda kullanılan toplam nokta sayısı, 12. adımda kullanılan toplam nokta sayısından 36 eksiktir.
Doğru seçenekte belirtilen adım sayısı 9'dur. Örüntünün kuralı nn. adım için (n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2} şeklindedir. 12. adımdaki nokta sayısı 13×142=91\frac{13 \times 14}{2} = 91 olarak bulunur. 91 sayısından 36 çıkarıldığında 55 elde edilir. Nokta sayısının 55 olduğu adım sayısını bulmak için (k+1)(k+2)2=55\frac{(k+1)(k+2)}{2} = 55 denklemi çözülür ve (k+1)(k+2)=110(k+1)(k+2) = 110 eşitliğinden k=9k = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün genel kuralını belirleme
nn. adımdaki toplam nokta sayısı Tn+1=(n+1)(n+2)2T_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{2} formülü ile bulunur.
1. adımda 3 nokta (2×32=3\frac{2 \times 3}{2} = 3), 2. adımda 6 nokta (3×42=6\frac{3 \times 4}{2} = 6) ve 3. adımda 10 nokta (4×52=10\frac{4 \times 5}{2} = 10) kullanıldığı görülmektedir. Bu sayılar ardışık tam sayıların toplamına (üçgensel sayılara) karşılık gelmektedir.
2
12. adımdaki nokta sayısını hesaplama
12. adımda (12+1)(12+2)2=13×142=91\frac{(12+1)(12+2)}{2} = \frac{13 \times 14}{2} = 91 nokta bulunur.
Belirlenen genel kuralda nn yerine 12 yazılarak 12. adımdaki nokta sayısı elde edilir.
3
Hedef nokta sayısını belirleme
91−36=5591 - 36 = 55 nokta olmalıdır.
Soruda istenen durum, aranan adımdaki nokta sayısının 12. adımdaki nokta sayısından 36 eksik olmasıdır.
4
Hedef nokta sayısına ulaşan adım sayısını bulma
(k+1)(k+2)2=55⇒(k+1)(k+2)=110⇒k+1=10⇒k=9\frac{(k+1)(k+2)}{2} = 55 \Rightarrow (k+1)(k+2) = 110 \Rightarrow k+1 = 10 \Rightarrow k = 9 olarak bulunur.
Toplam nokta sayısının 55 olduğu adım numarası olan kk değerini bulmak için örüntü kuralı denklemine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Üçgensel sayı örüntülerinin formülleştirilmesi ve adım sayısına bağlı olarak terim hesaplama.
Soru 12Soru →

Aşağıda bir kart oyununda kullanılan kartların üzerindeki sayılar ve çevrelerindeki nokta sayıları belirli bir düzene göre verilmiştir:

* 1. kart: Kartın üzerinde 33 yazmaktadır ve çevresinde 11 nokta vardır.
* 2. kart: Kartın üzerinde 66 yazmaktadır ve çevresinde 33 nokta vardır.
* 3. kart: Kartın üzerinde 99 yazmaktadır ve çevresinde 55 nokta vardır.

Bu düzene göre hazırlanan 6. kartın üzerindeki sayı ile çevresindeki nokta sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

6. kartın üzerindeki sayı ile çevresindeki nokta sayısının toplamı 29'dur.
6. karttaki sayı 3×6=183 \times 6 = 18 ve çevresindeki nokta sayısı 2×6−1=112 \times 6 - 1 = 11 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 18+11=2918 + 11 = 29 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kartların üzerindeki sayıların örüntüsünü bulma
Sayılar 3,6,93, 6, 9 şeklinde 33'ün katlar�� olarak artmaktadır. nn. karttaki sayı 3n3n formülüyle bulunur. 6. karttaki sayı 3×6=183 \times 6 = 18 olur.
Her kartın üzerindeki sayının kart numarasıyla ilişkisini belirlemek için.
2
Kartların çevresindeki nokta sayılarının örüntüsünü bulma
Nokta sayıları 1,3,51, 3, 5 şeklinde tek sayılar olarak artmaktadır. nn. karttaki nokta sayısı 2n−12n - 1 formülüyle bulunur. 6. karttaki nokta sayısı 2×6−1=112 \times 6 - 1 = 11 olur.
Her kartın çevresindeki nokta sayısının kart numarasıyla ilişkisini belirlemek için.
3
İstenen değerlerin toplamını hesaplama
18 + 11 = 29
Soruda 6. kart için hesaplanan iki değerin toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri
Soru 13Soru →

Aşağıda, sayıların belirli bir mantıksal kurala göre yerleştirildiği bir sayı ve şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir:

1. Adım:

2
5 3
13

2. Adım:

3
7 4
25

3. Adım:

4
9 5
41

Her adımda üstte, solda, sağda ve altta bulunan sayılar arasında aynı mantıksal kural geçerlidir.

Buna göre, bu örüntünün 6. adımındaki düzeneğin altında bulunan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 113

Cevap

113
6. adımdaki düzenek için üstteki sayı 7, soldaki sayı 15, sağdaki sayı ise 8'dir. Bu sayılar arasındaki kural (Sol × Üst) + Sağ şeklinde uygulandığında 15 × 7 + 8 = 113 sayısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Her adımdaki üst, sol ve sağ sayıların değişim kuralını belirlemek ve 6. adımdaki karşılıklarını hesaplamak.
Üstteki sayılar: 2, 3, 4... ��eklinde 1'er artar; 6. adımda 7 olur. Soldaki sayılar: 5, 7, 9... şeklinde 2'şer artar; 6. adımda 15 olur. Sağdaki sayılar: 3, 4, 5... şeklinde 1'er artar; 6. adımda 8 olur.
6. adımdaki düzeneğin çevre sayılarını bulmak için.
2
Çevre sayıları ile alttaki sayı arasındaki ortak matematiksel ilişkiyi bulmak.
Alttaki sayı = (Sol × Üst) + Sağ şeklinde hesaplanır. Örneğin 1. adımda: (5 × 2) + 3 = 13; 2. adımda: (7 × 3) + 4 = 25; 3. adımda: (9 × 4) + 5 = 41 olur. (Alternatif olarak Sol × Sa�� - Üst = 5 × 3 - 2 = 13 ilişkisi de geçerlidir ve aynı sonucu verir).
Alttaki sayıyı elde etmek için gereken kuralı doğrulamak.
3
Belirlenen kuralı 6. adımın çevre sayılarına uygulamak.
(15 × 7) + 8 = 105 + 8 = 113.
6. adımdaki düzeneğin altında bulunması gereken sayıyı elde etmek.

Anahtar Kavram

Sayı ve şekil örüntülerinde kural çözümleme ve genel terim formülü oluşturma

İpuçları

1
Üstteki, soldaki ve sağdaki sayıların her adımda nasıl değiştiğini inceleyin.
2
Çevre sayıları ile ortadaki veya alttaki büyük sayı arasındaki matematiksel işlemi bulmaya çalışın. Sol ve üst sayıların çarpımını kullanmayı deneyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki boyutlu ızgaralardaki sayısal örüntü kurallarını içeren soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Örüntüyü alttaki sayıların farkı üzerinden de inceleyebilirsiniz: 13, 25, 41... Sayılar arasındaki artış miktarları sırasıyla 12, 16, 20... şeklinde dörder dörder artarak devam eder. Bu ardışık farkları ekleyerek 6. adımdaki sayıya ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Birim karelerden oluşan bir şekil örüntüsünün adımlarındaki mavi ve beyaz birim karelerin yerleşimi belirli bir kurala göre yapılmaktadır. Bu örüntünün ilk dört adımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 1. Adım: 11 adet beyaz birim kare bulunmaktadır (mavi kare yoktur).
* 2. Adım: 11. adımdaki beyaz karenin etrafına 44 adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 3. Adım: 22. adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına 1616 adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 4. Adım: 33. adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına 2424 adet mavi birim kare eklenmiştir.

Bu şekilde devam eden örüntünün her yeni adımında, bir önceki adımdaki mavi kareler beyaza dönüşmekte ve şeklin en dış kısmına belirli bir kurala göre yeni mavi kareler eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 88. adımında elde edilen şekildeki beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 109

Cevap

Beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından 109 fazladır.
Doğru cevap olan 109 sayısı, örüntüdeki beyaz ve mavi karelerin sayıları belirlenerek bulunur. 8. adımdaki beyaz kare sayısı, 7. adımdaki toplam kare sayısına eşittir ve 132−4=16513^2 - 4 = 165 olarak hesaplanır. 8. adımdaki mavi kare sayısı ise 8×(8−1)=568 \times (8-1) = 56'dır. Aralarındaki fark 165−56=109165 - 56 = 109'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün her adımındaki toplam birim kare sayısının formülünü belirlemek.
n≥2n \ge 2 için toplam birim kare sayısı Tn=(2n−1)2−4T_n = (2n-1)^2 - 4 ve T1=1T_1 = 1 olarak bulunur.
Her adımda oluşan şekil, (2n−1)×(2n−1)(2n-1) \times (2n-1) boyutunda bir kareden köşelerdeki 4 adet birim karenin çıkarılmasıyla elde edilmektedir.
2
Her adımda eklenen yeni mavi kare sayısının genel kuralını belirlemek.
n≥3n \ge 3 için mavi kare sayısı Mn=8(n−1)M_n = 8(n-1), M2=4M_2 = 4 ve M1=0M_1 = 0 şeklindedir.
Mavi kare sayıları 3. adımdan itibaren sırasıyla 16, 24, 32... şeklinde 8'er artan bir dizi oluşturmaktadır.
3
Her adımdaki beyaz kare sayısının kuralını belirlemek.
nn. adımdaki beyaz kare sayısı, bir önceki adımdaki toplam kare sayısına yani Bn=Tn−1B_n = T_{n-1} değerine eşittir.
Her yeni adımda, bir önceki adımda var olan tüm mavi ve beyaz kareler beyaza dönüşmektedir.
4
8. adımdaki mavi ve beyaz kare sayılarını hesaplamak.
Mavi kare sayısı: M8=8×(8−1)=56M_8 = 8 \times (8-1) = 56. Beyaz kare sayısı: B8=T7=(2×7−1)2−4=132−4=165B_8 = T_7 = (2 \times 7 - 1)^2 - 4 = 13^2 - 4 = 165.
Genel kurallarda n=8n = 8 yazılarak istenen adımdaki değerler elde edilir.
5
Beyaz kare sayısı ile mavi kare sayısı arasındaki farkı hesaplamak.
165−56=109165 - 56 = 109 olarak bulunur.
Soruda beyaz karelerin mavi karelerden kaç fazla olduğu sorulduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri
Sayı ve Şekil Örüntüleri Alıştırma Soruları — ALES | Examkin