Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasamak Analizi ve Çözümleme
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı için
ABC−ACB=54ABC - ACB = 54
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısı ile en küçük ABCABC doğal sayısı arasındaki fark kaçtır?

  1. A
    622
  2. B
    711
  3. 800Cevap
  4. D
    811
  5. E
    822

Cevap

En büyük sayı 982 ve en küçük sayı 182 olduğundan aralarındaki fark 800'dür.
Çözümleme yapıldığında B−C=6B - C = 6 ilişkisi bulunur. Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşuluyla oluşturulabilecek en büyük sayı 982982, en küçük sayı ise 182182'dir. Bu iki sayının farkı olan 800800 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve ACBACB üç basamaklı sayılarını basamaklarına çözümleyelim.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B elde edilir.
Verilen çıkarma işlemini basamak analizine uygun hale getirmek için çözümleme yapmalıyız.
2
ABC−ACB=54ABC - ACB = 54 eşitliğinde çözümleme sonuçlarını yerine yazarak sadeleştirme yapalım.
9(B−C)=549(B - C) = 54 ve buradan B−C=6B - C = 6 bulunur.
Yüzler basamağındaki ortak 100A100A terimleri birbirini götürür ve BB ile CC rakamları arasındaki bağıntıyı verir.
3
Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşuluna göre B−C=6B - C = 6 eşitliğini sağlayan (B,C)(B, C) rakam çiftlerini bulalım.
(B,C)(B, C) çiftleri (7,1)(7, 1), (8,2)(8, 2) ve (9,3)(9, 3) olabilir.
BB ve CC birer rakam ve sıfırdan farklı olduğu için bu farkı veren sınırlı sayıda durum vardır.
4
En büyük ABCABC sayısını oluşturmak için yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışalım.
B=8,C=2B=8, C=2 çifti seçilirse A=9A=9 alınabilir ve en büyük sayı 982982 olur.
B=9,C=3B=9, C=3 seçilirse rakamların farklı olması kuralı gereği AA en fazla 88 seçilebilir ve 893893 sayısı oluşur. 982>893982 > 893 olduğundan en büyük değer 982982'dir.
5
En küçük ABCABC sayısını oluşturmak için yüzler basamağındaki AA rakamını en küçük seçmeye çalışalım.
B=8,C=2B=8, C=2 çifti seçilirse A=1A=1 alınabilir ve en küçük sayı 182182 olur.
B=7,C=1B=7, C=1 seçilirse rakamların farklı olması kuralı gereği AA en az 22 seçilebilir ve 271271 sayısı oluşur. 182<271182 < 271 olduğundan en küçük değer 182182'dir.
6
Bulunan en büyük ve en küçük sayıların farkını hesaplayalım.
982−182=800982 - 182 = 800 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük ABCABC doğal sayıları arasındaki fark istenmiştir.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve verilen rakam kısıtlarına göre en büyük/en küçük değerlerin optimize edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru