Examkin

Basamak Analizi ve Çözümleme

24 soru

Tüm türler24Çoktan seçmeli18Sayısal6
Soru 1Soru →

Rakamları toplamının 4 katına eşit olan iki basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Rakamları toplamının 4 katına eşit olan iki basamaklı 4 farklı doğal sayı vardır.
İki basamaklı ABAB doğal sayısı çözümlendiğinde 10A+B10A + B ifadesi elde edilir. Bu ifade rakamları toplamının 4 katına eşitlendiğinde 10A+B=4(A+B)10A + B = 4(A + B) denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde 2A=B2A = B ilişkisine ulaşılır. AA onlar basamağında olduğu için sıfırdan farklı bir rakam, BB ise birler basamağında bir rakam olmalıdır. Bu şartlara uygun (A,B)(A, B) ikilileri (1, 2), (2, 4), (3, 6) ve (4, 8) olup, oluşturulan iki basamaklı sayılar 12, 24, 36 ve 48 olmak üzere 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısını çözümleyin ve verilen koşula göre denklemi kurun.
10A+B=4(A+B)10A + B = 4(A + B)
İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakamın basamak değeri 10, birler basamağındaki rakamın basamak değeri 1'dir.
2
Denklemin sağ tarafındaki çarpma işlemini dağıtın ve benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.
10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B
Değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak için terimleri sadeleştirmemiz gerekir.
3
2A=B2A = B eşitliğini sağlayan AA ve BB rakam değerlerini bulun.
A=1A = 1 için B=2B = 2, A=2A = 2 için B=4B = 4, A=3A = 3 için B=6B = 6, A=4A = 4 için B=8B = 8
AA ve BB birer rakam olmalı ve ABAB iki basamaklı sayı olduğundan AA sıfırdan farklı olmalıdır.
4
Bulunan değerlere karşılık gelen iki basamaklı sayıları listeleyin ve toplam sayıyı belirleyin.
Koşulu sağlayan sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir. Toplamda 4 farklı sayı vardır.
A≥5A \ge 5 için BB rakam olamayacağından (örneğin A=5A=5 için B=10B=10) başka çözüm yoktur.

Anahtar Kavram

İki basamaklı bir sayının basamak analizi yapılarak AB=10A+BAB = 10A + B şeklinde çözümlenmesi ve elde edilen cebirsel denklemin rakam olma kurallarına göre incelenmesi.
Soru 2Soru →
AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, iki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için,
AB−BA=54AB - BA = 54
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A−BA - B farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İki basamaklı sayıların farkı alındığında elde edilen farkın 9'a bölümüyle ulaşılan 6 değeri doğru cevapt��r.
İki basamaklı ABAB ve BABA sayılarının farkı 9(A−B)9(A-B) olarak çözümlenir. 9(A−B)=549(A-B) = 54 eşitliğinden A−B=6A-B = 6 elde edilir. Bu nedenle 6 seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesini yapın.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A
İki basamaklı sayıları sayı basamakları cinsinden ifade etmek için.
2
Elde edilen çözümlemeleri çıkarma işleminde yerine koyun ve ortak paranteze alın.
AB−BA=(10A+B)−(10B+A)=9A−9B=9(A−B)AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9A - 9B = 9(A - B)
İfadeleri sadeleştirerek fark katsayısını belirlemek için.
3
Bulunan ifadeyi verilen eşitlikteki değere (54) eşitleyip sadeleştirin.
9(A−B)=54⇒A−B=69(A - B) = 54 \Rightarrow A - B = 6
İstenen A - B farkını bulmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB ve BCBC doğal sayılarının toplamının 44 katına eşittir.

Buna g��re, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Rakamları sıfırdan farkl�� üç basamaklı ABCABC sayısının rakamları çarpımı 36'dır.
Çözümleme yapıldığında elde edilen 60A=34B+3C60A = 34B + 3C denkleminde A,B,CA, B, C sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere tek bir çözüm vardır, o da A=2,B=3,C=6A=2, B=3, C=6 değerleridir. Bu rakamların çarpımı 2⋅3⋅6=362 \cdot 3 \cdot 6 = 36 olduğundan doğru yanıt 36 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümleyip eşitliği yazalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
AB=10A+BAB = 10A + B
BC=10B+CBC = 10B + C
Eşitlik: 100A+10B+C=4⋅(10A+B+10B+C)100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + B + 10B + C)
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmanın temel adımıdır.
2
Elde edilen eşitliği sadeleştirelim.
100A+10B+C=4⋅(10A+11B+C)100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C)
100A+10B+C=40A+44B+4C100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C
60A=34B+3C60A = 34B + 3C
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi daha sade bir biçime dönüştürmek gerekir.
3
Elde edilen 60A=34B+3C60A = 34B + 3C denkleminde rakamların alabileceği değerleri inceleyelim.
Denklemin sol tarafı (60A60A) 10'un katıdır. Dolayısıyla sağ tarafındaki 34B+3C34B + 3C ifadesinin de birler basamağı 0 olmalıdır.
34B+3C≡0(mod10)  ⟹  4B+3C≡0(mod10)34B + 3C \equiv 0 \pmod{10} \implies 4B + 3C \equiv 0 \pmod{10} olur.
BB ve CC sıfırdan farklı rakamlar olduğundan, B=3B = 3 için 4(3)+3C=12+3C4(3) + 3C = 12 + 3C ifadesinin 10'un katı olması için C=6C = 6 olmalıdır.
Bu durumda: 60A=34(3)+3(6)=102+18=120  ⟹  A=260A = 34(3) + 3(6) = 102 + 18 = 120 \implies A = 2 bulunur.
Rakam olma ve basamak kuralları (sıfırdan farklı olma) sınırlandırmalarını kullanarak değer denemesi yapılır.
4
Bulunan rakamların çarpımını hesaplayalım.
A=2A = 2, B=3B = 3, C=6C = 6 olduğundan sayı 236236'dır.
Rakamların çarpımı: 2⋅3⋅6=362 \cdot 3 \cdot 6 = 36 bulunur.
Soruda bizden istenen rakamların çarpımı değerine ulaşmaktır.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı ve iki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek elde edilen denklemlerde rakam sınırlandırmalarına göre değerlerin bulunması.

İpuçları

1
ABCABC, ABAB ve BCBC sayılarını basamak değerlerine göre 100A+10B+C100A+10B+C, 10A+B10A+B ve 10B+C10B+C şeklinde açarak işe başlayın.
2
Denklemi düzenlediğinizde 60A=34B+3C60A = 34B + 3C eşitliğini bulacaksınız. Sol tarafın 10'un katı olmasını kullanın.
3
34B+3C34B + 3C ifadesinin birler basamağının 0 olması için BB ve CC rakamlarına uygun değerleri verin. B=3B = 3 durumunu inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde ABC=5⋅(AB+BC)ABC = 5 \cdot (AB + BC) eşitliğini sağlayan rakamları sıfırdan farklı ABCABC sayılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi 60A−34B=3C60A - 34B = 3C şeklinde yazıp 2(30A−17B)=3C2(30A - 17B) = 3C haline getirebiliriz. Buradan CC sayısının çift ve 30A−17B30A - 17B ifadesinin 3'ün katı olması gerektiği görülür. BB rakamına değer verilerek 30A−17B30A - 17B ifadesinin sadeleşmesi kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı BCBC doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Rakamları toplamı 19 olan sayıdır.
Verilen koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı ABCABC sayısı çözümlendiğinde 865865 olarak bulunur. Bu sayının rakamlarının toplamı 8+6+5=198 + 6 + 5 = 19 olduğu için doğru seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını 100A+BC100A + BC şeklinde çözümleyerek verilen eşitlikte yerine yazın.
100A+BC=13⋅BC+20100A + BC = 13 \cdot BC + 20
Sayının basamak analizi yapılarak BCBC iki basamaklı terimi cinsinden ifade edilmesi işlemleri kolaylaştıracaktır.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki BCBC terimlerini bir araya getirerek denklemi düzenleyin.
100A=12⋅BC+20100A = 12 \cdot BC + 20
BCBC terimini karşı tarafa atarak ortak katları görebilmek ve sadeleştirme yapabilmek için.
3
Denklemin her iki tarafını da 4 ile bölerek sadeleştirin.
25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5
Daha küçük sayılarla çalışmak ve katsayılar arasındaki bölünebilme ilişkilerini kolayca analiz edebilmek için.
4
Elde edilen 25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde AA rakamının alabileceği değerleri ve buna karşılık gelen iki basamaklı BCBC sayılarını bulun.
A=2⇒BC=15A = 2 \Rightarrow BC = 15, A=5⇒BC=40A = 5 \Rightarrow BC = 40, A=8⇒BC=65A = 8 \Rightarrow BC = 65
BCBC sayısının iki basamaklı (10≤BC≤9910 \leq BC \leq 99) bir doğal sayı ve AA'nın sıfırdan farklı bir rakam olması şartını sağlayan değerleri bulmak için.
5
Bulunan ABCABC sayılarından en büyüğünü seçerek rakamları toplamını hesaplayın.
En büyük ABC=865ABC = 865 sayısıdır. Rakamları toplamı ise 8+6+5=198 + 6 + 5 = 19'dur.
Soruda bizden koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı sayının rakamları toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı bir sayının basamak analizi yapılarak ABC=100A+BCABC = 100A + BC veya 100A+10B+C100A + 10B + C biçiminde çözümlenmesi ve elde edilen denklemlerde rakam/basamak sınırlamalarına uygun değerlerin atanması.
Soru 5Soru →
Rakamları birbirinden farklı, ABCABC ve CBACBA üç basamaklı doğal sayıları için,
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
eşitliği sağlanmaktadır. ABCABC sayısı 99 ile tam bölünebildiğine ve BB bir çift rakam olduğuna göre, bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2592

Cevap

Bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı 25922592 sayısıdır.
Üç basamaklı sayıların çözümlenmesiyle elde edilen 99(A−C)=396  ⟹  A−C=499(A-C) = 396 \implies A-C = 4 bağıntısından yola çıkılarak sıfırdan farklı (A,C)(A, C) rakam ikilileri bulunur. Her bir durum için A+B+CA+B+C toplamının 9'un katı olması ve BB'nin çift rakam olması koşulları test edildiğinde sadece 783783, 864864 ve 945945 sayılarının bu kurallara uyduğu görülür. Bu sayıların toplamı 25922592'dir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılarının çözümlenmiş hâllerini yazarak farklarını bulalım.
99(A−C)=396  ⟹  A−C=499(A - C) = 396 \implies A - C = 4 elde edilir.
Basamak analizi kurallarına göre ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve CBA=100C+10B+ACBA = 100C + 10B + A yazılabilir.
2
AA ve CC rakamlarının alabileceği değerleri belirleyelim.
(A,C)(A, C) çiftleri (5,1)(5, 1), (6,2)(6, 2), (7,3)(7, 3), (8,4)(8, 4) ve (9,5)(9, 5) olabilir.
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılar olduğundan yüzler basamağındaki AA ve CC sıfır olamaz.
3
ABCABC sayısının 9 ile tam bölünebilme ve BB'nin çift rakam olma koşullarını kontrol edelim.
Sadece (7,3)(7, 3) için B=8  ⟹  783B=8 \implies 783, (8,4)(8, 4) için B=6  ⟹  864B=6 \implies 864 ve (9,5)(9, 5) için B=4  ⟹  945B=4 \implies 945 sayıları koşulları sağlar.
A+B+CA+B+C toplamının 9'un katı olması gerekir. (5,1)(5, 1) için B=3B=3 (tek) ve (6,2)(6, 2) için B=1B=1 (tek) olduğundan bu durumlar elenir.
4
Koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarını toplayalım.
783+864+945=2592783 + 864 + 945 = 2592 bulunur.
Bizden istenen değer tüm olası ABCABC sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve farklarının alınması ile elde edilen 99(A−C)99(A-C) özelliğinin kullanılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısından 238238 fazladır.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Rakamların toplamı olan 12 sayısı doğru cevaptır.
Soruda verilen bağıntı ABC−AB=238ABC - AB = 238 şeklindedir. Üç basamaklı ABCABC sayısı 10×AB+C10 \times AB + C şeklinde çözümlenebilir. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında 9×AB+C=2389 \times AB + C = 238 elde edilir. CC bir rakam olduğundan bu eşitliği sağlayan tek değerler AB=26AB = 26 ve C=4C = 4 olur. Buradan A=2A = 2, B=6B = 6 ve C=4C = 4 bulunur. Rakamların toplamı olan 12 sayısı doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını ABAB iki basamaklı sayısı cinsinden çözümleyelim.
ABC=10×AB+CABC = 10 \times AB + C elde edilir.
Yüzler ve onlar basamağındaki ABAB grubunu tek bir terim olarak yazarak denklemi basitleştirmek.
2
Bulduğumuz ifadeyi soruda verilen ABC−AB=238ABC - AB = 238 denkleminde yerine koyalım.
10×AB+C−AB=238  ⟹  9×AB+C=23810 \times AB + C - AB = 238 \implies 9 \times AB + C = 238 elde edilir.
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
3
CC bir rakam (0≤C≤90 \le C \le 9) olduğundan, 238238 sayısını 99'a bölerek bölümü (ABAB iki basamaklı sayısı) ve kalanı (CC rakamı) bulalım.
238=9×26+4238 = 9 \times 26 + 4 olduğundan AB=26AB = 26 ve C=4C = 4 bulunur.
9×AB9 \times AB çarpımının 238238'den küçük ya da eşit en büyük 99'un katı olması gerektiği için.
4
AB=26AB = 26 eşitliğinden AA ve BB rakamlarını belirleyip tüm rakamların toplamını bulalım.
A=2A = 2, B=6B = 6 ve C=4C = 4 olup, A+B+C=2+6+4=12A + B + C = 2 + 6 + 4 = 12 elde edilir.
Soruda istenen A+B+CA+B+C toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Gruplandırarak Çözümleme
Soru 7Soru →

ABAB ve BABA iki basamaklı, ABAABA ise üç basamaklı birer doğal sayıdır.

ABAB sayısı, rakamlarının toplamının 55 katına eşittir.

ABAABA sayısı, BABA sayısının 88 katından XX fazladır.

Buna göre, XX değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Aranan XX değeri 22'dir.
ABAB iki basamaklı sayısının rakamları toplamının 5 katı olduğu bilgisinden hareketle 10A+B=5(A+B)10A + B = 5(A+B) denklemi kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde 5A=4B5A = 4B bağıntısına ulaşılır. AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olmak zorunda olduğundan A=4A=4 ve B=5B=5 tek çözümdür. Buradan üç basamaklı ABAABA sayısı 454, iki basamaklı BABA sayısı ise 54 olarak bulunur. 454=8⋅54+X454 = 8 \cdot 54 + X eşitliğinden 454=432+X454 = 432 + X ve X=22X = 22 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB doğal sayısı çözümlenerek rakamları arasındaki bağıntı elde edilir.
5A=4B5A = 4B bağıntısı elde edilir.
AB=5(A+B)AB = 5(A+B) eşitliği 10A+B=5A+5B10A + B = 5A + 5B şeklinde basamaklarına ayrılarak sadeleştirilir.
2
AA ve BB rakamlarının değerleri belirlenir.
A=4A = 4 ve B=5B = 5 bulunur.
AA ve BB sıfırdan farklı birer rakam olmak zorunda olduğundan, 5A=4B5A = 4B eşitliğini sağlayan tek rakam çifti bu değerlerdir.
3
ABAABA ve BABA sayıları yerlerine yazılarak XX değeri hesaplanır.
X=22X = 22 bulunur.
ABA=454ABA = 454 ve BA=54BA = 54 değerleri kullanılarak 454=8⋅54+X454 = 8 \cdot 54 + X denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

İki ve üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak analizi kuralları.
Soru 8Soru →
Rakamları birbirinden farklı, ABCABC ve CBACBA üç basamaklı doğal sayıları için
ABC−CBA=594ABC - CBA = 594
ve
A+B+C=15A + B + C = 15
olduğunu göre, bu koşulları sağlayan ABCABC sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Koşulları sağlayan ABCABC sayısının onlar basamağındaki rakam 5'tir.
Çözümleme yapıldığında 99(A−C)=594  ⟹  A−C=699(A - C) = 594 \implies A - C = 6 elde edilir. Rakamları farklı olma koşulunu sağlayan tek rakam üçlüsü A=8,C=2,B=5A=8, C=2, B=5 olduğundan onlar basamağındaki rakam 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açalım ve farklarını alalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C)
Üç basamaklı sayıların basamak değerlerini belirleyip aralarındaki farkı basitleştirmek için.
2
Elde edilen farkı soruda verilen 594 değerine eşitleyerek A−CA - C farkını bulalım ve olası rakam çiftlerini listeleyelim.
99(A−C)=594  ⟹  A−C=699(A - C) = 594 \implies A - C = 6 elde edilir. CBACBA sayısı üç basamaklı olduğu için C≠0C \neq 0 olmalıdır. Bu durumda olası (A,C)(A, C) çiftleri (7,1)(7, 1), (8,2)(8, 2) ve (9,3)(9, 3)'tür.
AA ve CC rakamlarının alabileceği değerleri sınırlandırmak için.
3
Her bir rakam çifti için A+B+C=15A + B + C = 15 denklemini kuralım ve rakamların birbirinden farklı olması koşulunu kontrol edelim.
A=7,C=1  ⟹  7+B+1=15  ⟹  B=7A = 7, C = 1 \implies 7 + B + 1 = 15 \implies B = 7 (rakamlar farklı değil, elenir).
A=8,C=2  ⟹  8+B+2=15  ⟹  B=5A = 8, C = 2 \implies 8 + B + 2 = 15 \implies B = 5 (rakamlar farklı, {8,5,2}\{8, 5, 2\} koşulu sağlar).
A=9,C=3  ⟹  9+B+3=15  ⟹  B=3A = 9, C = 3 \implies 9 + B + 3 = 15 \implies B = 3 (rakamlar farklı değil, elenir).
Soruda verilen tüm kısıtlamaları (toplam ve farklı rakamlar) sağlayan tek BB değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve farklarının 99(A−C)99(A-C) biçiminde ifade edilmesi, ardından verilen rakam kısıtlamalarına göre çözümün yapılması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

ABAB ve BCBC iki basamaklı doğal sayılardır.

ABAB sayısı rakamlarının toplamının 4 katına, BCBC sayısı ise rakamlar��nın toplamının 5 katına eşittir.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A + B + C toplamının doğru değeri 11'dir.
Doğru cevap 11'dir. ABAB iki basamaklı sayısı rakamları toplamının 4 katına eşit olduğundan 10A+B=4(A+B)⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 2A = B elde edilir. Benzer şekilde, BCBC iki basamaklı sayısı rakamları toplamının 5 katına eşit olduğundan 10B+C=5(B+C)⇒5B=4C10B + C = 5(B + C) \Rightarrow 5B = 4C elde edilir. BB ve CC sıfırdan farklı birer rakam olduğundan 5B=4C5B = 4C eşitliğini sağlayan BB değeri ancak 4 olabilir (8 olması durumunda C=10C = 10 olur ki bu rakam değildir). B=4B = 4 ise C=5C = 5 ve 2A=B2A = B eşitliğinden A=2A = 2 bulunur. Rakamların toplamı ise 2+4+5=112 + 4 + 5 = 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB ve BCBC sayılarını basamak çözümlemesi kullanarak açın.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BC=10B+CBC = 10B + C biçiminde yazılır.
Verilen oranları cebirsel denklemlere dönüştürmek amacıyla çözümleme yapılması gerekir.
2
ABAB sayısı için verilen 'rakamları toplamının 4 katı' eşitliğini kurun ve sadeleştirin.
10A+B=4(A+B)⇒10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B elde edilir.
AA ile BB rakamları arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
BCBC sayısı için verilen 'rakamları toplamının 5 katı' eşitliğini kurun ve sadeleştirin.
10B+C=5(B+C)⇒10B+C=5B+5C⇒5B=4C10B + C = 5(B + C) \Rightarrow 10B + C = 5B + 5C \Rightarrow 5B = 4C elde edilir.
BB ile CC rakamları arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
4
Bulunan ilişkileri kullanarak AA, BB ve CC rakamlarının değerlerini bulun.
5B=4C5B = 4C eşitliğinde BB ve CC birer rakam olduğundan, BB sayısı 4'ün katı olmalıdır. BB sıfırdan farklı bir rakam olduğu için B=4B = 4 veya B=8B = 8 olabilir. Eğer B=8B = 8 olursa C=10C = 10 olur ki bu bir rakam değildir. Dolayısıyla B=4B = 4 ve buna bağlı olarak C=5C = 5 olmalıdır. 2A=B2A = B eşitliğinden ise 2A=4⇒A=22A = 4 \Rightarrow A = 2 bulunur.
Rakam olma ve basamak değeri kurallarına uyan tek çözüm kümesini elde etmek.
5
AA, BB ve CC değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
A+B+C=2+4+5=11A + B + C = 2 + 4 + 5 = 11 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Basamak Değeri ve Çözümleme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve CABCAB doğal sayıları için,
ABC−CAB=360ABC - CAB = 360
olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Rakamların toplamı 13 olabilir.
Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde AB=11C+40AB = 11C + 40 eşitliğine ulaşılır. Burada CC rakamına değer verildiğinde, ABAB iki basamaklı sayısının rakamları ve dolayısıyla toplamın alabileceği değerler elde edilir. C=3C=3 için AB=73AB=73 olup A=7,B=3A=7, B=3 bulunur. Bu durumda rakamlar toplamı 7+3+3=137+3+3 = 13 olur ve bu değer seçeneklerde mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç basamaklı sayıları basamak çözümleme yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
CAB=100C+10A+BCAB = 100C + 10A + B
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak sayıların arasındaki matematiksel ilişkiyi sadeleştirmeyi sağlar.
2
Çözümlediğimiz ifadeleri çıkarma işleminde yerine koyarak sadeleştirelim.
ABC−CAB=(100A+10B+C)−(100C+10A+B)=360ABC - CAB = (100A + 10B + C) - (100C + 10A + B) = 360
90A+9B−99C=36090A + 9B - 99C = 360
Çıkarma işlemini yaparak katsayıları ortak paranteze alabileceğimiz bir form elde ederiz.
3
Elde ettiğimiz denklemin her iki tarafını da 9 ile bölelim.
10A+B−11C=4010A + B - 11C = 40
Katsayıları küçülterek rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için denklemi sadeleştiririz.
4
10A+B10A + B ifadesinin iki basamaklı ABAB sayısına eşit olduğunu kullanarak denklemi düzenleyelim.
AB−11C=40  ⟹  AB=11C+40AB - 11C = 40 \implies AB = 11C + 40
10A+B10A+B ifadesi doğrudan iki basamaklı ABAB sayısının çözümlenmiş halidir. Bu dönüşüm değer vermeyi kolaylaştırır.
5
ABAB sayısının iki basamaklı bir sayı ve A,B,CA, B, C harflerinin birer rakam olması koşulunu kullanarak uygun değerleri belirleyelim.
CC sıfırdan farklı bir rakam olmalıdır (çünkü CABCAB üç basamaklıdır). ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan AB≤99AB \le 99 olmalıdır.
CC değerlerine göre inceleyelim:
- C=1  ⟹  AB=51  ⟹  A=5,B=1C = 1 \implies AB = 51 \implies A=5, B=1 (Toplam: 5+1+1=75+1+1=7)
- C=2  ⟹  AB=62  ⟹  A=6,B=2C = 2 \implies AB = 62 \implies A=6, B=2 (Toplam: 6+2+2=106+2+2=10)
- C=3  ⟹  AB=73  ⟹  A=7,B=3C = 3 \implies AB = 73 \implies A=7, B=3 (Toplam: 7+3+3=137+3+3=13)
- C=4  ⟹  AB=84  ⟹  A=8,B=4C = 4 \implies AB = 84 \implies A=8, B=4 (Toplam: 8+4+4=168+4+4=16)
- C=5  ⟹  AB=95  ⟹  A=9,B=5C = 5 \implies AB = 95 \implies A=9, B=5 (Toplam: 9+5+5=199+5+5=19)
C≥6C \ge 6 için AB≥106AB \ge 106 olur ki bu iki basamaklı olamaz.
Matematiksel kısıtlar (rakam olma ve basamak sayısı) kullanılarak olası değerler kümesi sınırlandırılır.
6
Bulduğumuz olası toplam değerlerini seçeneklerle karşılaştıralım.
Olası toplamlar 7, 10, 13, 16 ve 19'dur. Seçeneklerde bu değerlerden sadece 13 bulunmaktadır.
Soruda 'hangisi olabilir?' diye sorulduğu için bulduğumuz değerlerden seçeneklerde yer alanı belirleriz.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümleme kuralları kullanılarak iki basamaklı sayılara ve rakam kısıtlamalarına göre analiz edilmesi.
Soru 11Soru →

İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarının toplamı 132'dir. Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Verilen iki basamaklı sayılar çözümlendiğinde AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A elde edilir. Bu iki sayının toplamı 11(A+B)11(A+B) olur. Soruda bu toplamın 132 olduğu belirtilmiştir. Buradan 11(A+B)=13211(A+B) = 132 denklemi yazılır. Eşitliğin her iki tarafı 11'e bölündüğünde A+B=12A+B = 12 bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 12 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB ve BABA sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyiniz.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A
Sayıların basamak değerlerini (onlar ve birler basamağı) belirleyerek cebirsel olarak ifade etmek için.
2
ABAB ve BABA sayılarının çözümlenmiş biçimlerini toplayınız ve ortak paranteze alınız.
AB+BA=(10A+B)+(10B+A)=11A+11B=11(A+B)AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11A + 11B = 11(A+B)
İki sayının toplamını A+BA+B ifadesi cinsinden sadeleştirmek için.
3
Elde edilen 11(A+B)11(A+B) ifadesini soruda verilen 132 değerine eşitleyerek A+BA+B toplamını bulunuz.
11(A+B)=132  ⟹  A+B=1211(A+B) = 132 \implies A+B = 12
Denklemin her iki tarafını 11'e bölerek A+BA+B toplamını yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı bir XYXY doğal sayısı çözümlenirken onlar basamağındaki rakam 10 ile, birler basamağındaki rakam ise 1 ile çarpılarak toplanır: XY=10X+YXY = 10X + Y.

İpuçları

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyerek toplamayı deneyin.
2
Çözümleme yaptıktan sonra ifadeyi ortak çarpan parantezine alın: 11A+11B=11(A+B)11A + 11B = 11(A+B).

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki basamaklı iki sayının farkı (AB−BA=54AB - BA = 54) verildiğinde A−BA - B farkını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen sayıların toplamı 132132 olduğundan ve birler basamağındaki rakamların toplamı (B+AB+A) ile onlar basamağındaki rakamların toplamı (A+BA+B) birbirine eşit olduğundan, toplamın birler basamağındaki 2 eldeki 1 ile birlikte değerlendirildiğinde A+BA+B toplamının doğrudan 12 olması gerektiği görülebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →

Üç basamaklı 3AB3AB doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısının 66 katına eşittir.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

A + B toplamı 6'dır.
Üç basamaklı 3AB3AB sayısı 300+AB300 + AB şeklinde çözümlenebilir. Verilen 3AB=6⋅AB3AB = 6 \cdot AB eşitliğinde bu çözümleme yerine yazılırsa 300+AB=6⋅AB300 + AB = 6 \cdot AB denklemi elde edilir. Buradan 5⋅AB=3005 \cdot AB = 300 ve AB=60AB = 60 bulunur. İki basamaklı ABAB sayısı 60 olduğuna göre, onlar basamağındaki rakam A=6A = 6 ve birler basamağındaki rakam B=0B = 0 olur. Rakamların toplamı olan A+BA + B değeri 6+0=66 + 0 = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
3AB3AB sayısı basamak analizi yöntemiyle çözümlenir.
3AB=300+AB3AB = 300 + AB şeklinde yazılır.
Üç basamaklı bir say��nın yüzler basamağındaki rakamın değeri 3×100=3003 \times 100 = 300 olup, sayı 300300 ile iki basamaklı ABAB sayısının toplamı olarak ifade edilebilir.
2
Çözümlenen ifade soruda verilen eşitlikte yerine yazılarak denklem çözülür.
300+AB=6⋅AB  ⟹  300=5⋅AB  ⟹  AB=60300 + AB = 6 \cdot AB \implies 300 = 5 \cdot AB \implies AB = 60 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki tarafındaki ABAB terimleri bir araya getirilerek iki basamaklı ABAB sayısı yalnız bırakılır.
3
ABAB sayısının basamak değerlerine göre AA ve BB rakamları belirlenerek toplamları hesaplanır.
A=6A = 6, B=0B = 0 ve buradan A+B=6+0=6A + B = 6 + 0 = 6 elde edilir.
AB=60AB = 60 eşitliğinde onlar basamağı AA'ya, birler basamağı BB'ye karşılık gelmektedir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle çok basamaklı sayıları daha sade biçimde ifade etme.

Alternatif Yöntem

Denklem 3AB=6⋅AB3AB = 6 \cdot AB ifadesinde 300+10A+B=60A+6B300 + 10A + B = 60A + 6B olarak uzunca çözümlenebilir. Buradan 300=50A+5B300 = 50A + 5B ve her iki taraf 5'e bölünerek 60=10A+B60 = 10A + B elde edilir. Bu eşitliği sağlayan rakamlar sadece A=6A = 6 ve B=0B = 0 olduğundan toplam yine 6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 13Soru →

Rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı ile bu sayının rakamları toplamının toplamı bir tam kare sayıya eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABAB doğal sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Koşulu sağlayan 5 farklı ABAB doğal sayısı vardır.
Verilen koşulu sağlayan iki basamaklı sayılar çözümlenip rakamları toplamıyla toplandığında 11A+2B=k211A + 2B = k^2 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan ABAB sayıları 17, 27, 38, 72 ve 86 olmak üzere 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB iki basamaklı sayısının basamak çözümlemesinin yapılması
AB=10A+BAB = 10A + B
Sayıyı rakamları cinsinden ifade ederek cebirsel işlem yapabilmek için.
2
ABAB sayısı ile rakamları toplamının toplanarak tam kareye eşitlenmesi
11A+2B=k211A + 2B = k^2 (Burada kk bir tam sayıdır)
Soruda verilen matematiksel koşulu denkleme dökmek için.
3
11A+2B11A + 2B ifadesinin sınırlarının ve olası tam kare değerlerin belirlenmesi
11≤11A+2B≤11711 \le 11A + 2B \le 117 aralığındaki tam kareler: 16,25,36,49,64,81,10016, 25, 36, 49, 64, 81, 100
AA ve BB rakamlarının sınırlarına göre alabileceği tam kare değerleri kısıtlamak için.
4
Her tam kare değer için uygun AA ve BB rakamlarının bulunması
(1,7),(2,7),(3,8),(7,2),(8,6)(1,7), (2,7), (3,8), (7,2), (8,6) olmak üzere 5 çift elde edilir.
Denklemi sağlayan ve A≠0A \ne 0, A≠BA \ne B koşullarına uyan rakam ikililerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, çözümleme ve tam kare sayıların sınır değerleri yardımıyla çözülmesi.
Soru 14Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve iki basamaklı BCBC doğal sayıları için,
ABC=13⋅BC+12ABC = 13 \cdot BC + 12
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan en büyük ABCABC doğal sayısı için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Rakamları toplamının değeri 20 olan seçenektir.
Koşulu sağlayan en büyük sayı, yüzler basamağı olan AA rakamının en büyük seçilmesiyle (A=9A = 9) elde edilir. Bu durumda BC=74BC = 74 olur ve rakamları farklı olan 974974 sayısı bulunur. Bu sayının rakamları toplamı 2020 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını ABC=100A+BCABC = 100A + BC şeklinde çözümleyerek denklemde yerine yazalım.
100A+BC=13⋅BC+12100A + BC = 13 \cdot BC + 12 elde edilir.
ABCABC sayısının son iki basamağı BCBC olduğundan bu çözümleme kolaylık sağlar.
2
Elde edilen denklemde BCBC terimlerini bir araya getirerek sadeleştirme yapalım.
100A=12⋅BC+12  ⟹  100A=12(BC+1)100A = 12 \cdot BC + 12 \implies 100A = 12(BC + 1) elde edilir. Her iki tarafı 4 ile bölersek 25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğine ulaşırız.
Katsayıları küçülterek rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için.
3
25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğinde 25 ve 3 aralarında asal olduğundan, AA rakamı 3'ün katı olmalıdır. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük AA değerinden başlayalım.
A=9A = 9 için 25⋅9=3(BC+1)  ⟹  75=BC+1  ⟹  BC=7425 \cdot 9 = 3(BC + 1) \implies 75 = BC + 1 \implies BC = 74 bulunur. Bu durumda B=7B = 7 ve C=4C = 4 olur.
Soruda en büyük ABCABC sayısının bulunması istendiği için yüzler basamağı olan AA rakamını en büyük seçmeliyiz.
4
Bulunan rakamların farklılık koşulunu ve basamak koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
A=9A = 9, B=7B = 7, C=4C = 4 olup tüm rakamlar birbirinden farklıdır. ABC=974ABC = 974 sayısı elde edilir. Rakamlar toplamı 9+7+4=209 + 7 + 4 = 20 olur.
Sorudaki rakamların farklı olması koşulunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme

Alternatif Yöntem

Denklem 100A=12⋅BC+12100A = 12 \cdot BC + 12 olarak elde edildikten sonra her iki tarafın 12 ile bölümünden kalanlar incelenebilir. 100A100A sayısının 12 ile bölümünden kalan 12'nin katı olmalıdır, bu da AA rakamının 3'ün katı olmasını gerektirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →

İki basamaklı bir ABAB doğal sayısının onlar basamağındaki rakam 3 artırılıp, birler basamağındaki rakam 4 azaltılıyor. Buna göre, elde edilen yeni sayı ilk sayıdan kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Elde edilen yeni sayı, ilk sayıdan 26 fazladır.
Onlar basamağındaki rakamın 3 artırılması sayıyı 30 artırır, birler basamağındaki rakamın 4 azaltılması ise 4 azaltır. Sonuç olarak sayı 30−4=2630 - 4 = 26 artar.

Adım Adım Çözüm

1
Onlar basamağındaki değişimin etkisini hesaplama
Sayı 30 artar.
Onlar basamağındaki rakam 3 artırıldığında sayının değeri 3×10=303 \times 10 = 30 kadar artış gösterir.
2
Birler basamağındaki değişimin etkisini hesaplama
Sayı 4 azalır.
Birler basamağındaki rakam 4 azaltıldığında sayının değeri 4×1=44 \times 1 = 4 kadar azalış gösterir.
3
Net değişimi hesaplama
Sayı 26 artar.
Artış ve azalış miktarlarının net sonucu 30−4=2630 - 4 = 26 artış olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Basamak Değeri Değişimi
Soru 16Soru →
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı için
ABC−ACB=54ABC - ACB = 54
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısı ile en küçük ABCABC doğal sayısı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

En büyük sayı 982 ve en küçük sayı 182 olduğundan aralarındaki fark 800'dür.
Çözümleme yapıldığında B−C=6B - C = 6 ilişkisi bulunur. Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşuluyla oluşturulabilecek en büyük sayı 982982, en küçük sayı ise 182182'dir. Bu iki sayının farkı olan 800800 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve ACBACB üç basamaklı sayılarını basamaklarına çözümleyelim.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B elde edilir.
Verilen çıkarma işlemini basamak analizine uygun hale getirmek için çözümleme yapmalıyız.
2
ABC−ACB=54ABC - ACB = 54 eşitliğinde çözümleme sonuçlarını yerine yazarak sadeleştirme yapalım.
9(B−C)=549(B - C) = 54 ve buradan B−C=6B - C = 6 bulunur.
Yüzler basamağındaki ortak 100A100A terimleri birbirini götürür ve BB ile CC rakamları arasındaki bağıntıyı verir.
3
Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşuluna göre B−C=6B - C = 6 eşitliğini sağlayan (B,C)(B, C) rakam çiftlerini bulalım.
(B,C)(B, C) çiftleri (7,1)(7, 1), (8,2)(8, 2) ve (9,3)(9, 3) olabilir.
BB ve CC birer rakam ve sıfırdan farklı olduğu için bu farkı veren sınırlı sayıda durum vardır.
4
En büyük ABCABC sayısını oluşturmak için yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışalım.
B=8,C=2B=8, C=2 çifti seçilirse A=9A=9 alınabilir ve en büyük sayı 982982 olur.
B=9,C=3B=9, C=3 seçilirse rakamların farklı olması kuralı gereği AA en fazla 88 seçilebilir ve 893893 sayısı oluşur. 982>893982 > 893 olduğundan en büyük değer 982982'dir.
5
En küçük ABCABC sayısını oluşturmak için yüzler basamağındaki AA rakamını en küçük seçmeye çalışalım.
B=8,C=2B=8, C=2 çifti seçilirse A=1A=1 alınabilir ve en küçük sayı 182182 olur.
B=7,C=1B=7, C=1 seçilirse rakamların farklı olması kuralı gereği AA en az 22 seçilebilir ve 271271 sayısı oluşur. 182<271182 < 271 olduğundan en küçük değer 182182'dir.
6
Bulunan en büyük ve en küçük sayıların farkını hesaplayalım.
982−182=800982 - 182 = 800 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük ABCABC doğal sayıları arasındaki fark istenmiştir.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve verilen rakam kısıtlarına göre en büyük/en küçük değerlerin optimize edilmesi.
Soru 17Soru →
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
eşitliği sağlanmaktadır.

A+C=8A + C = 8 olduğu ve BB rakamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Bu koşulları sağlayan 2 farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayılarının farkı 99(A−C)=39699(A-C) = 396 eşitliğini verir. Buradan A−C=4A-C = 4 elde edilir. A+C=8A+C = 8 eşitliğiyle birlikte bu sistem çözüldüğünde A=6A=6 ve C=2C=2 rakamlarına ulaşılır. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olduğundan BB rakamı 6 ve 2 değerlerini alamaz. BB'nin çift sayı olduğu kısıtlamasıyla birlikte geriye yalnızca 4 ve 8 rakamları kalır. Dolayısıyla 2 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayılarının basamak çözümlemesini yapıp farklarını hesaplayalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=396ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 396
Sayıların çözümlenmesiyle elde edilen ortak 99(A−C)99(A-C) çarpanı sayesinde çıkarma işlemini sadeleştirmek.
2
99(A−C)=39699(A - C) = 396 eşitliğinden yararlanarak A ve C rakamlarının değerlerini bulalım.
A−C=4A - C = 4
Verilen A+C=8A + C = 8 eşitliğiyle bu denklemi taraf tarafa toplarsak:
2A=12  ⟹  A=62A = 12 \implies A = 6
C=2C = 2
bulunur.
İki bilinmeyenli iki denklemin ortak çözümüyle A ve C rakamlarını kesin olarak belirlemek.
3
Bulunan A ve C değerleri ile verilen kısıtlamaları kullanarak B rakamının alabileceği değerleri belirleyelim.
ABCABC sayısının rakamları sıfırdan ve birbirinden farklıdır. Bu yüzden BB rakamı 0, 2 ve 6 olamaz. Ayrıca BB rakamının çift sayı olduğu belirtilmiştir. Çift rakamlar {0,2,4,6,8}\{0, 2, 4, 6, 8\} kümesidir. Koşulları sağlayan BB değerleri sadece 44 ve 88 rakamlarıdır. Bu durumda yazılabilecek ABCABC sayıları 642 ve 682 olup toplam 2 tanedir.
Soruda verilen tüm rakamsal kısıtlamaları (sıfırdan farklı, birbirinden farklı, çift rakam) bir araya getirerek olası ABCABC sayılarının adedini bulmak.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam kısıtlamalarına göre basamak değerlerinin analizi.
Soru 18Soru →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakam 2 artırılıp, onlar basamağındaki rakam 3 azaltıldığında elde edilen yeni sayı; ABCABC sayısının onlar ve birler basamağının yer değiştirilmesiyle elde edilen üç basamaklı ACBACB sayısının 2 katından 15 eksik olmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayıları için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen koşulu sağlayan ABCABC sayılarının rakamları toplamı 14'tür.
Soruda verilen yönergeler takip edilerek kurulan ABC+170=2⋅ACB−15ABC + 170 = 2 \cdot ACB - 15 denklemi çözümlendiğinde 100A+19C−8B=185100A + 19C - 8B = 185 eşitliği elde edilir. Burada rakam sınırlandırmaları (0≤A,B,C≤90 \le A, B, C \le 9 ve A≠0A \neq 0) uygulandığında yalnızca iki çözüm bulunur: 167167 ve 293293. Her iki sayının da rakamları toplamı 14'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC sayısının basamaklarındaki değişimlerin say�� değerine etkisini belirleyerek denklemi kurun.
ABCABC sayısının yüzler basamağı 2 artırılırsa sayı değeri 200 artar, onlar basamağı 3 azaltılırsa sayı değeri 30 azalır. Dolayısıyla yeni sayı ABC+170ABC + 170 olur. Bu sayı ACBACB sayısının 2 katından 15 eksik olduğuna göre denklemimiz: ABC+170=2⋅ACB−15ABC + 170 = 2 \cdot ACB - 15 olarak kurulur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliğe dönüştürmek için.
2
Elde edilen denklemi çözümleme (basamak analizi) yöntemiyle açarak sadeleştirin.
100A+10B+C+170=2(100A+10C+B)−15100A + 10B + C + 170 = 2(100A + 10C + B) - 15 100A+10B+C+185=200A+20C+2B100A + 10B + C + 185 = 200A + 20C + 2B Terimleri düzenlersek: 185+8B=100A+19C185 + 8B = 100A + 19C elde edilir.
Bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi daha basit bir formda analiz edebilmek için.
3
A,B,CA, B, C rakamlarının alabileceği değerleri inceleyin.
100A+19C−8B=185100A + 19C - 8B = 185 denkleminde B≤9B \le 9 olduğundan 8B≤728B \le 72 olur. Buradan 100A+19C100A + 19C ifadesinin değeri [185,257][185, 257] aralığında olmalıdır. Bu durumda AA rakamı sadece 1 veya 2 olabilir.

A=1A = 1 için: 19C−8B=85  ⟹  C=719C - 8B = 85 \implies C = 7 ve B=6B = 6 bulunur. Sayımız 167167 olur.

A=2A = 2 için: 8B−19C=15  ⟹  B=98B - 19C = 15 \implies B = 9 ve C=3C = 3 bulunur. Sayımız 293293 olur.
Rakamların 0 ile 9 arasındaki tam sayılar olması sınırlandırmasını kullanarak olası çözümleri bulmak için.
4
Bulunan sayılar için rakamlar toplamını (A+B+CA + B + C) hesaplayın.
167167 sayısı için: 1+6+7=141 + 6 + 7 = 14
293293 sayısı için: 2+9+3=142 + 9 + 3 = 14
Her iki durumda da rakamlar toplamı 14 çıkmaktadır.
İstenen ortak toplamı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 19Soru →
İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için,
A+D=11A + D = 11
B+C=8B + C = 8
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, AB+CDAB + CD toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark 126'dır.
Çözümlenmiş ifadenin 9(A+C)+199(A+C) + 19 olduğu gösterildikten sonra, AA ve CC değerlerinin sınır koşullarına uygun olarak A+CA+C toplamının en çok 17, en az 3 olabileceği belirlenir. Bu değerler yerine koyulduğunda toplamın alabileceği en büyük değer 172, en küçük değer 46 bulunur. Bu iki değer arasındaki fark 126'dır.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve CDCD iki basamaklı sayılarını çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve CD=10C+DCD = 10C + D olur. Bu iki ifadenin toplamı: AB+CD=10A+B+10C+D=10(A+C)+B+DAB + CD = 10A + B + 10C + D = 10(A + C) + B + D şeklindedir.
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyenlerin katsayılarını ve ilişkilerini netleştirmek için ilk adımdır.
2
Verilen A+D=11A + D = 11 ve B+C=8B + C = 8 eşitliklerini kullanarak tek türden değişken elde edelim.
D=11−AD = 11 - A ve B=8−CB = 8 - C ifadelerini toplam denkleminde yerine yazarsak: AB+CD=10(A+C)+(8−C)+(11−A)=9(A+C)+19AB + CD = 10(A + C) + (8 - C) + (11 - A) = 9(A + C) + 19 elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak, ifadenin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri belirlemeyi kolaylaştırır.
3
AA, BB, CC ve DD harflerinin birer rakam olması ve ABAB ile CDCD sayılarının iki basamaklı olması koşullarını inceleyelim.
A∈{1,2,…,9}A \in \{1, 2, \dots, 9\} ve C∈{1,2,…,9}C \in \{1, 2, \dots, 9\} olmalıdır (onlar basamağı sıfır olamaz).
- D=11−AD = 11 - A bir rakam olmalıdır. 0≤11−A≤9  ⟹  2≤A≤110 \le 11 - A \le 9 \implies 2 \le A \le 11 olur. Buradan 2≤A≤92 \le A \le 9 elde edilir.
- B=8−CB = 8 - C bir rakam olmalıdır. 0≤8−C≤9  ⟹  −1≤C≤80 \le 8 - C \le 9 \implies -1 \le C \le 8 olur. Buradan 1≤C≤81 \le C \le 8 elde edilir.
Harflerin rakam olma ve basamak değerlerinin sınırlarını koruma zorunluluğu, sınır değerleri doğru belirlemek için gereklidir.
4
A+CA+C toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bularak toplamın sınırlarını hesaplayalım.
- En büyük değer için: A=9A = 9 ve C=8  ⟹  (A+C)max=17C = 8 \implies (A+C)_{max} = 17 olur. Bu durumda en büyük toplam: 9(17)+19=1729(17) + 19 = 172 olur.
- En küçük değer için: A=2A = 2 ve C=1  ⟹  (A+C)min=3C = 1 \implies (A+C)_{min} = 3 olur. Bu durumda en küçük toplam: 9(3)+19=469(3) + 19 = 46 olur.
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlere ulaşmak için elde edilen aralık sınırları kullanılır.
5
En büyük ve en küçük toplam değerleri arasındaki farkı bulalım.
Fark =172−46=126= 172 - 46 = 126 olarak bulunur. (Veya doğrudan 9×((A+C)max−(A+C)min)=9×(17−3)=9×14=1269 \times ((A+C)_{max} - (A+C)_{min}) = 9 \times (17 - 3) = 9 \times 14 = 126 şeklinde de hesaplanabilir.)
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak için fark işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam sınırlarının (basamak analizi) doğru belirlenmesi.

İpuçları

1
ABAB ve CDCD sayılarını 10A+B10A+B ve 10C+D10C+D şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Çözümleme sonrasında elde ettiğiniz ifadede verilen D=11−AD = 11 - A ve B=8−CB = 8 - C eşitliklerini yerine yazarak ifadeyi sadece AA ve CC cinsinden ifade edin.
3
AA, BB, CC ve DD harflerinin her birinin birer rakam (0-9 arası) olması gerektiğini ve AA ile CC'nin sıfır olamayacağını (iki basamaklı sayıların onlar basamağı oldukları için) dikkate alarak AA ve CC için en büyük ve en küçük değer aralıklarını bulun.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için
AB2−BA2=1485AB^2 - BA^2 = 1485
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı 128'dir.
Doğru cevap olan 128 seçeneği, verilen matematiksel ifadenin iki kare farkı özdeşliği ve basamak çözümlemesi ile 99(A2−B2)=148599(A^2 - B^2) = 1485 biçimine getirilmesiyle bulunur. Buradan A2−B2=(A−B)(A+B)=15A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) = 15 eşitliği elde edilir. AA ve BB birer rakam olduğu için bu eşitliği sağlayan değer çiftleri (8,7)(8, 7) ve (4,1)(4, 1)'dir. Bu da bize ABAB sayısının 87 veya 41 olabileceğini gösterir. İki değerin toplamı 87+41=12887 + 41 = 128 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A olur.
Sayıları rakamları cinsinden ifade ederek cebirsel işlem yapabilmek için.
2
AB2−BA2AB^2 - BA^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla açalım ve çözümleme sonuçlarını yerine yazalım.
AB2−BA2=(AB−BA)(AB+BA)=[(10A+B)−(10B+A)][(10A+B)+(10B+A)]=[9(A−B)][11(A+B)]=99(A2−B2)AB^2 - BA^2 = (AB - BA)(AB + BA) = [(10A + B) - (10B + A)][(10A + B) + (10B + A)] = [9(A - B)][11(A + B)] = 99(A^2 - B^2) elde edilir.
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpanlarına ayırmak için.
3
Elde edilen ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyip A2−B2A^2 - B^2 değerini bulalım.
99(A2−B2)=1485  ⟹  A2−B2=1599(A^2 - B^2) = 1485 \implies A^2 - B^2 = 15 bulunur.
AA ve BB rakamları arasındaki bağıntıyı sadeleştirmek için.
4
A2−B2=15A^2 - B^2 = 15 ifadesini (A−B)(A+B)=15(A-B)(A+B) = 15 biçiminde yazalım ve AA ile BB rakamlarının alabileceği değerleri inceleyelim.
AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olduğu için A−BA-B ve A+BA+B birer pozitif tam sayıdır ve A−B<A+BA-B < A+B koşulunu sağlamalıdır. 15 sayısının bu koşula uyan pozitif çarpan çiftleri şunlardır:
1) A−B=1A-B = 1 ve A+B=15  ⟹  2A=16  ⟹  A=8,B=7A+B = 15 \implies 2A = 16 \implies A = 8, B = 7 (Sayı: AB=87AB = 87)
2) A−B=3A-B = 3 ve A+B=5  ⟹  2A=8  ⟹  A=4,B=1A+B = 5 \implies 2A = 8 \implies A = 4, B = 1 (Sayı: AB=41AB = 41)
Çarpımları 15 olan uygun tam sayı bölenlerini belirleyip denklem sistemlerini çözmek için.
5
Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamını hesaplayalım.
87+41=12887 + 41 = 128 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve iki kare farkı özdeşliği

İpuçları

1
ABAB ve BABA sayılarını 10A+B10A+B ve 10B+A10B+A şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
AB2−BA2AB^2 - BA^2 ifadesini (AB−BA)(AB+BA)(AB-BA)(AB+BA) şeklinde iki kare farkı olarak yazıp elde ettiğiniz çözümlemeleri yerleştirmeyi deneyin.
3
99(A2−B2)=148599(A^2 - B^2) = 1485 denklemini sadeleştirip A2−B2=15A^2 - B^2 = 15 elde ettikten sonra, çarpımları 15 olan pozitif tam sayı çarpanlarını (1×151 \times 15 ve 3×53 \times 5) düşünerek AA ve BB rakamlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayıları için ABC2−CBA2ABC^2 - CBA^2 farkının basamak analizi sorularında nasıl sadeleştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İki kare farkından gitmek yerine doğrudan AB2−BA2=1485AB^2 - BA^2 = 1485 ifadesini (10A+B)2−(10B+A)2=1485(10A+B)^2 - (10B+A)^2 = 1485 şeklinde açarak tam kare ifadeleri düzenleyebilirsiniz. Kareler açıldığında 100A2+20AB+B2−(100B2+20AB+A2)=1485100A^2 + 20AB + B^2 - (100B^2 + 20AB + A^2) = 1485 olur. Buradan 20AB20AB terimleri birbirini götürür ve geriye yine 99A2−99B2=148599A^2 - 99B^2 = 1485 ifadesi kalır. Bu adımdan sonra değer verme aşamasına geçilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki