a, b ve c pozitif tam sayılardır. a + \frac{b}{c} = 4{}2 olduğuna göre, a + b + c toplamın… — ALES

$a, b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır.

a + \frac{b}{c} = 4{}2

olduğuna göre, $a + b + c$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

10Cevap
B
12
C
14
D
16
E
26

Cevap

Toplamın alabileceği en küçük değer 10'dur.

Verilen denklemde

4{}2

ifadesi rasyonel olarak

4 + 1/5

biçiminde yazılır. En küçük toplamı elde etmek için payda olan

c

değeri 5 seçilir. Buradan

5a+b=21

denklemi elde edilir. Toplamı en küçük yapmak için katsayısı büyük olan

a

değişkeni en büyük seçilerek

a=4

b=1

bulunur. Böylece en küçük toplam

4+1+5=10

olur.

Adım Adım Çözüm

Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek ve sadeleştirmek.

4{}2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}

olarak yazılır. Bu ifade tam ve kesirli kısımlara ayrıldığında

4 + \frac{1}{5}

elde edilir.

Ondalık ifadeyi rasyonel sayıya dönüştürmek, bilinmeyen tam sayı değerleri arasındaki ilişkiyi bulmayı kolaylaştırır.

Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı değerlerini belirlemek.

a + \frac{b}{c} = \frac{21}{5}

denkleminde

c

değeri 5'in katı olmalıdır. En küçük toplam için en küçük

c

değeri olan

c=5

seçilir. Bu durumda denklem

a + \frac{b}{5} = \frac{21}{5} \Rightarrow 5a + b = 21

haline gelir.

Toplamın en küçük olması için payda konumundaki

c

değerinin mümkün olduğunca küçük bir pozitif tam sayı seçilmesi gerekir.

Elde edilen

5a + b = 21

denklemini pozitif tam sayılar kümesinde çözmek ve toplamı en küçük yapacak değerleri bulmak.

a

değerine sırasıyla pozitif tam sayı değerleri verildiğinde:
-

a = 4

için

b = 1

olur. Toplam:

a + b + c = 4 + 1 + 5 = 10

.
-

a = 3

için

b = 6

olur. Toplam:

a + b + c = 3 + 6 + 5 = 14

.
-

a = 2

için

b = 11

olur. Toplam:

a + b + c = 2 + 11 + 5 = 18

.
-

a = 1

için

b = 16

olur. Toplam:

a + b + c = 1 + 16 + 5 = 22

.
Buradan en küçük toplam 10 olarak bulunur.

a

'nın katsayısı büyük olduğundan,

a

en büyük seçildiğinde

b

en küçük değerini alır ve bu durum toplamı minimize eder.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve Tam Sayı İlişkileri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru