Examkin

Soru

Zorluk: KolayAralarında Asal Sayılar
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.
3a−ba+b=45\frac{3a - b}{a + b} = \frac{4}{5}
olduğuna göre, 2a+b2a + b ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    21
  2. B
    23
  3. 29Cevap
  4. D
    31
  5. E
    37

Cevap

29
Denklemin içler dışlar çarpımı ile düzenlenmesi sonucu 11a=9b11a = 9b eşitliği bulunur. aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliği sağlayan en küçük pozitif değerler olan a=9a = 9 ve b=11b = 11 seçilmelidir (9 ve 11 aralarında asaldır). Bu değerler 2a+b2a + b ifadesinde yerine konduğunda 2(9)+11=292(9) + 11 = 29 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadede içler dışlar çarpımı yapılarak paydadan kurtulunur.
5⋅(3a−b)=4⋅(a+b)  ⟹  15a−5b=4a+4b5 \cdot (3a - b) = 4 \cdot (a + b) \implies 15a - 5b = 4a + 4b elde edilir.
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için bölme işleminden kurtulmak gerekir.
2
Benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplanır (aa'lar sola, bb'ler sağa).
15a−4a=4b+5b  ⟹  11a=9b15a - 4a = 4b + 5b \implies 11a = 9b elde edilir.
İki değişkenin oranını net bir şekilde görebilmek için sade bir eşitlik oluşturulur.
3
Aralarında asal olma şartı kullanılarak aa ve bb değerleri belirlenir.
a=9a = 9 ve b=11b = 11 bulunur.
11a=9b11a = 9b eşitliğinde aa, 99'un katı; bb ise 1111'in katı olmalıdır. aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olduğundan bu sayıların ortak böleni sadece 11 olmalıdır, bu yüzden en küçük katları olan a=9a=9 ve b=11b=11 değerleri alınır (9 ve 11 aralarında asaldır).
4
İstenen 2a+b2a + b ifadesinin değeri hesaplanır.
2a+b=2(9)+11=18+11=292a + b = 2(9) + 11 = 18 + 11 = 29 elde edilir.
Bulunan aa ve bb değerleri hedef ifadede yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni 1'dir. p⋅x=q⋅yp \cdot x = q \cdot y eşitliğinde pp ve qq aralarında asal ise ve xx ile yy de aralarında asal pozitif tam sayılarsa, x=qx=q ve y=py=p olur.
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru